高中数学/微积分初步/极限

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

极限理论本来是独立的数学分支，由它产生出了微分学和积分学2个重要数学分支。后来微积分基本定理诞生后，微分和积分之间的内在联系被打通，极限、微分、积分这些理论从此都成为微积分学的一部分。

在高中教科书中，函数的极限有两种引入方法。在难度较浅的高中课本中，一般是通过实际问题举例和直观联想，直接引入函数的极限。而中等及以上难度的高中教材一般会先讲数列的极限，然后再过渡到函数的极限。例如中国大陆人民教育出版社2004年版的《高中数学》第3册选修Ⅰ（针对文史艺体学生）就是直接介绍和使用导数；而对应的第3册选修Ⅱ（针对理工学生）则是先讲数列的极限，然后再过渡到函数的极限。为突出微积分的应用价值，我们选择将数列的极限划入单独的章节以供选学（参见数列的极限），而把函数的极限作为主干知识尽早地直接引入。当然，对于有需要的读者，也可以先看阅读数列的极限知识，再阅读本节内容。

对于极限定义的严格性方面，我们在本节没有使用严格化的$ϵ-\delta$语言（(ε, δ)-definition of limit）来定义和验证极限。主要原因还是由于这一套语言并不直观易懂，对于初学者（特别是对于文史艺体类的学生）来说，学习的难度大，而在解决实际问题中发挥的用途少，高中阶段的考试也不会考，所以学习性价比有限。学习严密的数学体系并不满足未来走上社会的每一个人的实际需要，大多数人能学习到数学中有用、够用的部分也就足够了。高中阶段教授微积分的主要原因只是培养对微积分的直观认识，了解它能干什么、适合解决什么问题，将其作为衔接中学和大学的预科课程，减缓后续大学数学课程的学习梯度。对于有更多需求的读者，在后续的大学课程中，也还有的是机会学习更精深的数学理论。此外，早期的微积分也是在还没有出现这套严格定义的情况下，成功得到了许多重要结果。大多数高中数学教科书也是基于类似的理由，以更直观、速成的视角来规定和使用极限。

基础知识

邻域与函数极限的朴素概念

我们称呼数轴上包含点a的一个开区间$(a-\delta ,a+\delta )$为点a的一个半径为$\delta$的邻域（neighbourhood（英式拼写）或neighborhood（美式拼写）），简称为点a的邻域。

当自变量x无限趋近于常数a（但x不等于a）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数A，我们就称当x趋近于a时，函数f(x)的极限（limit）是A，并记作“$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$”或“当$x\to a$时，$f(x)\to A$”。此时$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$也叫做函数f(x)在点x = a处的极限。

类似地，也可以仿照数列极限的定义，定义函数在无穷远处的极限。例如当自变量x取正数值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就是当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a，并记作“$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=A$”或“当$x\to \mathrm{\infty }$时，$f(x)\to A$”。同样也可以定义函数在负无穷大处的定义，此处不再赘述。

提示：(1)函数在某点处取得极限值A，也可以叫做函数在该点处收敛（convergent）于A。(2)函数值如果在某处趋近于正无穷大，我们就称这个函数发散（divergent）于正无穷大；类似地，也有函数发散于负无穷大的说法。

区间上连续函数的正式定义及其性质

如果函数f(x)在点x = a及其附近有定义，且$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$，我们就称函数f(x)在点a处是连续的（ function f is continuous at the point c）。如果函数f(x)在开区间(a, b)内的每一点都是连续的，那么我们就称函数f(x)在(a, b)内是连续函数（continuous function），或者说f(x)是开区间(a, b)内的连续函数。

同理，也可以按类似方式定义其它类型区间（闭区间或半开半闭区间等）上的连续函数。

提示：我们先前还没有为给何为极限下一个严格意义上的定义，所以即使这里给出了函数连续性的严格定义，这个定义对于论证函数的连续性其实也没有什么大的帮助。

由于在高中阶段几乎不会接触到图象奇形怪状的病态函数，我们为简明起见，可以把连续函数粗略理解为图象连续的函数。无论是从上述文字定义，还是从对图象连续性的直观感觉，都不难理解有下列结论：

有关函数连续性的一些基本结论：

• 对于在定义域上连续的函数f(x)有（假定t在f(x)的定义域中）：

$\underset{x\to t}{\lim }f(x)=f(t)$

• 连续函数的复合后仍然是连续函数。特别地，连续函数的和、差、积、商在其新定义域内也是连续函数。
• 闭区间上的连续函数一定有最大值点和最小值点。这个结论也叫做最大值/最小值定理，或魏尔施特拉斯第二定理。

单侧极限

如果强调函数的自变量只能沿点a邻域中的左侧或右侧趋近于点a，那么以这样单侧趋近的方式计算的极限值叫做单侧极限（one-sided limit）。其中，从左边邻域趋近指定点的极限叫做左极限（left-sided limit），记作$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$；从右边邻域趋近指定点的极限叫做右极限（right-sided limit），记作$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$。

换句话说，如果我们笼统地说一个函数在某点处存在极限，一定包含2层含义：

1. 函数在指定点同时存在左极限和右极限。
2. 函数在指定点的左极限和右极限相等。

也即$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\iff \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=A$。

提示：我们默认自变量只能从其定义域内趋近指定的点，因此$\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\mathrm{\infty }$这种式子是有意义的，而且肯定是当作单侧极限去理解。

极限的运算法则与未定式

函数的极限有下列运算法则：

设函数f(x)与g(x)在x趋近于t时分别有极限值$\underset{x\to t}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to t}{\lim }g(x)=B$，则一定也存在下列极限：

$\begin{array}{c}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}(f(x)\pm g(x))=(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}f(x))\pm (\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}g(x))=A\pm B\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}(f(x)\cdot g(x))=(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}f(x))\cdot (\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}g(x))=A\cdot B\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}f(x)}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to t}g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)\end{array}$

当自变量趋于0时，取值也趋于0的量叫做无穷小量（infinitesimal）。当自变量趋于0时，取值趋于正无穷大或负无穷大的量叫做无穷大量。

极限算式中无法直接判断极限的量叫做未定形式（indeterminate form），简称为未定式。未定式可能有极限，也可能不存在极限，一般需要根据实际情况变形、化简，直到可以计算或判断出答案为止。

高中阶段常见的未定式一般包含如下情形：

• 2个无穷大量的差
• 2个无穷大量的商或2个无穷小量的商
• 1个无穷大量与1个无穷小量的乘积

提示：一个有趣的事实是无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量。能举出来的例子有点难懂，有兴趣的读者可参见有关无穷的某些常见争论一节的讨论。这个事实不是本节的重点（甚至也不是高中数学的考点），所以就不在这里展开讲了。

三明治定理与2个重要极限简介

夾擠定理/三明治定理：如果在点a的附近，对于3个函数f(x)、g(x)和h(x)始终有不等式$f(x)\le g(x)\le h(x)$成立，且$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=A$，那么一定有$\underset{x\to a}{\lim }g(x)=A$。

结合正弦函数的单位圆定义，由图象特点和上述三明治定理可知$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$。

此外，我们严格定义常数e的值为$e:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n$。这个常数e就是自然对数符号中的底数。

提示：(1)e的常见定义不只这一种做法。(2)要通过这种方式定义一个常数，首先需要证明这个极限值是存在的。至于这个极限的存在性可以参见数列极限一节中的相关讨论，此处不再做过多说明。心急的读者可以先将其作为可以证实的事实记下来，后面有时间再去查看论证细节。

我们将上述2个重要极限总结如下：

极限论中的2个重要极限（注意其中1个是在0处取得极限，另1个是在正无穷大处取得极限）：

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$（由正弦函数的图象性质而来。）
• $e:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n$（可作为常数e的定义，但其极限的存在性需要论证。）

连续复利

常数e的一个常见含义就是基础金融学中复利公式的细分极限。我们在数列极限一节中有做相关讨论，为方便读者学习，我们将其中的关键内容摘录过来。

假定一家银行限定存款的年利率为10%，某客户最初存款数额为1元。如果银行计划每年支付n次利息，每次支付的利息率按10%的n分之一计算，每次所支付的总金额（本金+利息）能当作新的本金计入下一轮的利息计算，那么满一年后客户的存款这种按这种复利方式计算后的结果为：

$1\times (1+\frac{10\mathrm{\%}}{n}{)}^n$

当一年内的复利间隔划分次数m趋近无穷大的时候（所取的时间间隔由离散化趋近于连续化），所得的连续化复利结果就是包含e的极限值：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{0.1}{n}{)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }((1+\frac{1}{10n}{)}^{10n}{)}^{\frac{1}{10}}=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{10n}{)}^{10n}{)}^{\frac{1}{10}}=(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{k}{)}^k{)}^{\frac{1}{10}}=e^{\frac{1}{10}}=\sqrt[10]{e}$

常用结论与常见模型

无穷的比较

为解决不同无穷小量之间的比较问题，常使用在极限意义下等价的无穷小量（equivalent infinitesimal）作替换。我们用符号$\sim$来表示2个无穷小量之间的等价替换关系。例如当x趋近于0时，有$\sin x\sim x$。可以整体地替换一个无穷小量，也可以只根据需要替换其中的一部分因子。

当x趋近于0时，最常用的几组等价无穷小：

• $\sin x\sim x$
• $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
• $\ln (1+x)\sim x$
• $a^x-1\sim x\ln a(a>0,a\ne 1)$
• $(1+x{)}^a-1\sim ax$

当x趋近于0时，其它相关等价无穷小（其中部分式子的由来可能需要借助后面才讲到的洛必达法则和泰勒展开公式来说明）：

• $\tan x\sim x$
• $\arcsin x\sim x$
• $\arctan x\sim x$
• $e^x-1\sim x$
• $(1+bx{)}^a-1\sim abx$
• ${\log }_a(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}(a>0,a\ne 1)$
• $\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}{x}^3$
• $\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
• $x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
• $x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
• $\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
• $\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x$

补充习题

参见

• 数列的极限
• 有关无穷的某些常见争论
• 洛必达法则