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== 阅读指南 ==
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=== 预备知识 ===
=== 考试要求 ===
=== 后续课程联系 ===

== 基础知识 ==
=== 知识引入 ===
=== 互斥事件 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
不可能同时发生的事件叫做彼此互斥的事件，简称为'''互斥事件'''（'''mutually exclusive events'''或'''exclusive events'''）或'''不相交事件'''（'''disjoint events'''）。<ref name="人教社大纲版数学2004_互斥与对立">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第2册 (下B) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17987-X |section=第11章“概率”第11.2节“互斥事件有一个发生的概率” |pages=133-134 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>

二者之一一定会发生，但不会同时发生的一对事件叫做'''对立事件'''或'''互补事件'''（'''complementary events'''）。<ref name="人教社大纲版数学2004_互斥与对立" />

彼此之间两两互质又构成全集的两个或多个事件合称为'''完全事件系'''（'''complete event system'''）<ref>{{cite book |title=''Statistics in Plain English'' |trans_title=生物统计学 |author1=李春喜 |author2=邵云 |author3=姜丽娜 |editor= |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=科学出版社 |location=中国北京东黄城根北街16号 |edition=4 |isbn=978-7-03-021573-4 |section=第3章“概率与概率分布”第3.1节“概率基础知识”中“二、概率的计算”部分 |pages=26 |language=zh-cn |year=2008}}</ref>或'''协同穷竭事件'''（'''collectively exhaustive events'''）。
</font>
</blockquote>

由以上定义可知：
* 对立事件是特殊的互斥事件。
* 互斥事件不一定必须会有其一发生。
* 对立事件A和B的并一定构成全集，交一定构成空集，概率一定满足P(A) + P(B) = 1。
* 完全事件系可以视为对立性和互斥性的概念结合品。

提出事件互斥性的概念主要还是因为概率的计算有关，特别是互斥事件发生的概率计算格外简单。

首先，根据容斥原理和上一节的知识，给定任意2个事件，我们有：<br />
<math>P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)</math><br />
如果<math>E_1</math>与<math>E_1</math>互斥，那么它们不可能同时发生，即<math>P(E_1 \cap E_2) = 0</math>。<br />
这就是说此时有<math>P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) + P(E_2) - 0 = P(E_1) + P(E_2)</math>。

[[File:George Boole.jpg |thumb |150px | 乔治·布尔（George Boole，1815年－1864年）是英国的早期数理逻辑学家。他发现了集合运算与逻辑运算之间的对应关系，相关成果被后人命名为[[w:布尔代数|布尔代数]]<ref>{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.2节“样本空间与事件”中“三、事件的运算”部分 |pages=12-16 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>。他因冒雨为学生上课而患病，不久后因当时医疗条件差以及错误施救而身亡。他的后人中有很多的理工科学者，例如四维空间研究者艾莉西亚·司多特（Alicia Boole Stott）、旅居中国大陆的核物理学家[[w:寒春|寒春]]和“[[w:深度学习|深度学习]]之父”、2018年[[w:图灵奖|图灵奖]]得主[[w:杰弗里·辛顿|杰弗里·辛顿]]。]]

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]]
一般来说（即事件之间不一定满足互斥性时），有英国数理逻辑学家[[w:乔治·布尔|乔治·布尔]]提出的下列'''布尔不等式'''（'''Boole's inequality'''）成立<ref name="Feller_2006_概率的基本定义和性质" /><ref>{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.5节“概率空间”中“三、概率”部分 |pages=49 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>：
:<math>P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_n) \le P(E_1) + P(E_2) + \cdots + P(E_n)</math>

而一组（两两之间）互斥的事件<math>E_1, E_2, ..., E_n</math>的概率计算满足以下可加性定理<ref name="Feller_2006_概率的基本定义和性质">{{cite book |title=概率论及其应用 |volume=1 |author=[[w:William Feller|William Feller]] |editor=王丽萍 |others=胡迪鹤 (汉译者) |series=图灵数学·统计学丛书 |publisher=人民邮电出版社 |location=中国北京市崇文区夕照寺街14号 |edition=1 (原书第3版) |isbn=978-7-115-14729-5 |section=第1章“样本空间”第1.7节“基本定义和规则” |pages=17-19 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>：
:<math>P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_n) = P(E_1) + P(E_2) + \cdots + P(E_n)</math>
特别地，2个独立事件A和B的概率计算满足：<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B)</math>
</blockquote>

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提示：有的高中教科书直接将<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B)</math>作为计算互斥事件概率的定义<ref name="人教社课标版数学_2004_概率基本性质">{{cite book |title=高中数学 (A版) 必修3 |author=张淑梅 (本册主编); 李建华; 宋莉莉(作者+责任编辑); 杨照宇; 左怀玲; 章建跃; 李勇 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17707-9 |section=第3章“概率”第3.1节“随机事件的概率”第3.1.3小节“概率的基本性质” |pages=112-114 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>，有的只会通过实例简单地说明其合理性<ref name="人教社大纲版数学2004_互斥与对立" />，苏俄大数学家[[w:安德雷·柯爾莫哥洛夫|安德雷·柯爾莫哥洛夫]]更是曾经在概率论简明读物中将其列为他给出的五大概率公理之一<ref>{{cite book |title=''Foundations of the Theory of Probability'' |author=[[w:安德雷·柯爾莫哥洛夫|A. G. Kolmogorov]] |editor= |others=Nathan Morrison (英译者) |publisher=Chelsea Publishing Company |location=美国[[w:纽约市|纽约市]] |section=第1章“Elementary Theory of Probability”第1节“Axioms” |pages=3 |language=en |year=1956}}</ref>。目前更一般的做法是直接对无穷个互斥事件的并定义加法公理<ref name="李贤平_2010_概率空间中的概率定义">{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第1章“事件与概率”第1.5节“概率空间”中“三、概率”部分和“四、可数可加性与连续性”部分 |pages=47-53 |language=zh-cn |year=2010}}</ref><ref name="王梓坤_2007_概率空间中的概率定义">{{cite book |title=概率论基础及其应用 |author=[[w:王梓坤|王梓坤]] |editor1=岳昌庆 (责任编辑) |editor2=李菡 (责任校对) |others=赖德胜 (出版人) |series=新世纪高等学校教材·数学及应用数学专业主干课程系列教材 |publisher=北京师范大学出版社 |location=中国北京市新街口外大街19号 |edition=3 |isbn=978-7-303-03632-5 |section=第1章“事件与概率”第1.3节“概率空间”中“（一）概率的公理化定义”部分 |pages=19-21 |language=zh-cn |year=2007}}</ref>，因为这种定义可以自然退化到有限个互斥事件的情形，但是反过来从有限个推广到无限个事件的情形则几乎不可能做到<ref name="李贤平_2010_概率空间中的概率定义" />。

由于事件的运算与集合的运算有关系，也满足[[高中数学/集合与简易逻辑/集合及其运算|德摩根定律和容斥原理]]。所以有时候事件概率的直接计算不方便时，可以转换为对立情形的讨论。

=== 同时发生的独立事件 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
彼此的发生并不相互影响的事件称为'''相对独立事件'''（'''mutually independent events'''）或简称为'''独立事件'''<ref name="人教社大纲版数学2004_独立事件">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第2册 (下B) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17987-X |section=第11章“概率”第11.3节“相互独立事件同时发生的概率”中“1.相互独立事件及其同时发生的概率”部分 |pages=137-140 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>。彼此的发生一定有影响的一组事件称为相关事件。
</font>
</blockquote>

由以上定义可知：
* 独立事件和相关事件必居其一。
* 互斥事件属于相关事件。

独立事件可以视为是按照一定顺序先后发生的。并且由于事件之间的相互独立性，彼此的发生概率没有相互影响，所以事件的安排顺序其实对结果没有影响。这样一来，独立事件的概率计算可以利用上计数原理中的分步乘法原理。基于分步乘法原理的排列模型和组合模型也都可以根据情况使用。

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注意：事件的互斥性对应的是概率的加法，事件的独立性对应的是概率的乘法。千万不要搞混了。

<!-- 本小节例题 -->
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相关例题：
([[w:生日问题|生日问题]]) 对23个人来说，至少有2人在同一天过生日的概率超过50%。这一结论看似难以置信，试说明其由来。<ref>{{cite book |title=概率论及其应用 |volume=1 |author=[[w:William Feller|William Feller]] |editor=王丽萍 |others=胡迪鹤 (汉译者) |series=图灵数学·统计学丛书 |publisher=人民邮电出版社 |location=中国北京市崇文区夕照寺街14号 |edition=1 (原书第3版) |isbn=978-7-115-14729-5 |section=第2章“组合分析概要”第2.3节“例子” |pages=26 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>

=== 重复发生的独立试验 ===

在n次'''独立重复试验'''（'''independent and repeated trials'''）中，事件的发生概率需要用到[[高中数学/概率与统计/组合|组合数符号]]表达。与先前一样，本节中用到的组合数符号<math>\mathrm{C}_n^k</math>是沿袭自苏俄的符号习惯，表示从n个元素中取出k个元素的取法数；如果换成欧美常见的符号，应该改写为<math>\tbinom{n}{k}</math>。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
在n次独立重复试验中，如果事件A在其中每次试验中发生的概率都是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率<math>P_n (k)</math>为<ref name="人教社大纲版数学2004_重复独立试验">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第2册 (下B) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17987-X |section=第11章“概率”第11.3节“相互独立事件同时发生的概率”中“2.重复独立试验”部分 |pages=140-142 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>：
:<math>P_n (k) = \mathrm{C}_n^k p^k (1-p)^{n-k}</math>
</font>
</blockquote>

如果读者已经熟悉[[高中数学/概率与统计/二项式定理|牛顿的二项式定理]]，可以发现这个公式其实就是二项式定理的系数，其推导思路也与二项式定理一致<ref name="人教社大纲版数学2004_重复独立试验" />。我们之后学习[[高中数学/概率与统计/离散型随机变量的分布列及其数字特征|二项分布]]的概念时，还会用到这个公式描述二项分布。

<!-- 本小节例题 -->
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相关例题：
心理学研究者卡尔·马尔比（Karl Marbe，1869年－1953年）相信在掷硬币的试验中连续出现17次的“正面”后，下次出现“反面”出现的可能性要更大。试说明其观点中存在的问题。<ref name="Feller_2006_伯努利试验">{{cite book |title=概率论及其应用 |volume=1 |author=[[w:William Feller|William Feller]] |editor=王丽萍 |others=胡迪鹤 (汉译者) |series=图灵数学·统计学丛书 |publisher=人民邮电出版社 |location=中国北京市崇文区夕照寺街14号 |edition=1 (原书第3版) |isbn=978-7-115-14729-5 |section=第6章“二项分布与泊松分布”第6.1节“伯努利试验序列” |pages=112-113 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>

== 补充习题 ==
[[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]]
[[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|布尔不等式}}
{{Wikipedia|互斥}}

{{DEFAULTSORT: mutually exclusive and events}}
[[category:概率论]]
[[category:高中数学]]