高中数学/概率与统计/互斥事件与独立事件

阅读指南

基础知识

互斥事件

不可能同时发生的事件叫做彼此互斥的事件，简称为互斥事件（mutually exclusive events或exclusive events）或不相交事件（disjoint events）。

二者之一一定会发生，但不会同时发生的一对事件叫做对立事件或互补事件（complementary events）。

彼此之间两两互质又构成全集的两个或多个事件合称为完全事件系（complete event system）或协同穷竭事件（collectively exhaustive events）。

由以上定义可知：

• 对立事件是特殊的互斥事件。
• 互斥事件不一定必须会有其一发生。
• 对立事件A和B的并一定构成全集，交一定构成空集，概率一定满足P(A) + P(B) = 1。
• 完全事件系可以视为对立性和互斥性的概念结合品。

提出事件互斥性的概念主要还是因为概率的计算有关，特别是互斥事件发生的概率计算格外简单。

首先，根据容斥原理和上一节的知识，给定任意2个事件，我们有：
$P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1\cap E_2)$
如果$E_1$与$E_1$互斥，那么它们不可能同时发生，即$P(E_1\cap E_2)=0$。
这就是说此时有$P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1\cap E_2)=P(E_1)+P(E_2)-0=P(E_1)+P(E_2)$。

乔治·布尔（George Boole，1815年－1864年）是英国的早期数理逻辑学家。他发现了集合运算与逻辑运算之间的对应关系，相关成果被后人命名为布尔代数。他因冒雨为学生上课而患病，不久后因当时医疗条件差以及错误施救而身亡。他的后人中有很多的理工科学者，例如四维空间研究者艾莉西亚·司多特（Alicia Boole Stott）、旅居中国大陆的核物理学家寒春和“深度学习之父”、2018年图灵奖得主杰弗里·辛顿。

一般来说（即事件之间不一定满足互斥性时），有英国数理逻辑学家乔治·布尔提出的下列布尔不等式（Boole's inequality）成立：

$P(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n)\le P(E_1)+P(E_2)+\cdots +P(E_n)$

而一组（两两之间）互斥的事件$E_1,E_2,...,E_n$的概率计算满足以下可加性定理：

$P(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n)=P(E_1)+P(E_2)+\cdots +P(E_n)$

特别地，2个独立事件A和B的概率计算满足：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

提示：有的高中教科书直接将$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$作为计算互斥事件概率的定义，有的只会通过实例简单地说明其合理性，苏俄大数学家安德雷·柯爾莫哥洛夫更是曾经在概率论简明读物中将其列为他给出的五大概率公理之一。目前更一般的做法是直接对无穷个互斥事件的并定义加法公理，因为这种定义可以自然退化到有限个互斥事件的情形，但是反过来从有限个推广到无限个事件的情形则几乎不可能做到。

由于事件的运算与集合的运算有关系，也满足德摩根定律和容斥原理。所以有时候事件概率的直接计算不方便时，可以转换为对立情形的讨论。

同时发生的独立事件

彼此的发生并不相互影响的事件称为相对独立事件（mutually independent events）或简称为独立事件。彼此的发生一定有影响的一组事件称为相关事件。

由以上定义可知：

• 独立事件和相关事件必居其一。
• 互斥事件属于相关事件。

独立事件可以视为是按照一定顺序先后发生的。并且由于事件之间的相互独立性，彼此的发生概率没有相互影响，所以事件的安排顺序其实对结果没有影响。这样一来，独立事件的概率计算可以利用上计数原理中的分步乘法原理。基于分步乘法原理的排列模型和组合模型也都可以根据情况使用。

注意：事件的互斥性对应的是概率的加法，事件的独立性对应的是概率的乘法。千万不要搞混了。

相关例题： (生日问题) 对23个人来说，至少有2人在同一天过生日的概率超过50%。这一结论看似难以置信，试说明其由来。

重复发生的独立试验

在n次独立重复试验（independent and repeated trials）中，事件的发生概率需要用到组合数符号表达。与先前一样，本节中用到的组合数符号${\mathrm{C}}_n^k$是沿袭自苏俄的符号习惯，表示从n个元素中取出k个元素的取法数；如果换成欧美常见的符号，应该改写为$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$。

在n次独立重复试验中，如果事件A在其中每次试验中发生的概率都是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率$P_n(k)$为：

$P_n(k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

如果读者已经熟悉牛顿的二项式定理，可以发现这个公式其实就是二项式定理的系数，其推导思路也与二项式定理一致。我们之后学习二项分布的概念时，还会用到这个公式描述二项分布。

相关例题： 心理学研究者卡尔·马尔比（Karl Marbe，1869年－1953年）相信在掷硬币的试验中连续出现17次的“正面”后，下次出现“反面”出现的可能性要更大。试说明其观点中存在的问题。

补充习题