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== 阅读指南 ==
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注意：与先前一样，本节中用到的组合数符号<math>\mathrm{C}_n^k</math>是沿袭自苏俄的符号习惯，表示从n个元素中取出k个元素的取法数；如果换成欧美常见的符号，应该改写为<math>\tbinom{n}{k}</math>。

=== 预备知识 ===
=== 考试要求 ===
=== 后续课程联系 ===

== 基础知识 ==
=== 知识引入 ===
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思考：抛2枚硬币，有一个是正面，那么另一个是反面的概率是多少？另一个常见的同类问题为：一户人家有2个孩子，一个是男孩，另一个是女孩的概率是多少？（答案：都是<math>\frac 1 4</math>。）

=== 条件概率 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
设A、B为2个事件，且P(A) > 0，我们将P(AB)与P(A)的比值叫做“在事件A发生的条件下，事件B发生的'''条件概率'''（'''conditional probability'''）”，记作P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”。也即<math>P(B|A) := \frac{P(AB)}{P(A)}</math>。<ref name="人教社课标版数学_2006_条件概率">{{cite book |title=高中数学 (A版) 选修2-3 |author=李勇 (本册主编); 章建跃(作者+责任编辑); 白涛; 张淑梅 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |editor3=张唯一 (责任编辑) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 |edition=2 |isbn=978-7-107-20171-4 |section=第2章“随机变量及其分布”第2.2节“二项分布及其应用”第2.2.1小节“条件概率” |pages=51-54 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>
</font>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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关于条件概率，有以下结论成立<ref name="人教社课标版数学_2006_条件概率" />：
* 对任意事件A、B，有<math>0 \le P(B|A) \le 1</math>。
* 如果B和C是2个互斥事件，则有<math>P(B \cup C | A) = P(B|A) + P(C|A)</math>。
</blockquote>

=== 全概率公式与贝叶斯定理 ===

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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'''全概率公式'''（'''formula of total probability'''）是指如果<math>E_1, E_2, \cdots, E_n, \cdots</math>是两两互斥的事件，且它们的事件之并构成基本事件的全集，A是任意事件，则有<ref name="李贤平_2010_全概率公式">{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第2章“条件概率与统计独立性”第2.1节“条件概率、全概率公式，贝叶斯公式”中“二、全概率公式”部分 |pages=66-68 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>：
:<math>P(A) = P(A|E_1) + P(A|E_2) + \cdots + P(A|E_n) + \cdots</math>
</blockquote>

一般来说，事件A在事件B已发生的条件下发生的概率，与事件B在事件A已发生的条件下发生的概率是不一样的，但我们有如下的常用定理描述它们之间的固定数量关系：

[[File:Thomas Bayes.gif |thumb |150px | 托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，约1702年－1761年）的公式非常著名，导致了后世[[w:贝叶斯学派|贝叶斯学派]]的出现。不过贝叶斯本人在世期间没有发表过任何数学成果。他的哲学家兼数学家朋友理查德·普瑞斯（Richard Price）在他去世后才将贝叶斯公式发表于《[[自然科学会报|皇家学会哲学通讯]]》（''Philosophical Transactions of the Royal Society of London''）。]]

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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以英国数学家[[w:托马斯·贝叶斯|托马斯·贝叶斯]]命名的'''贝叶斯定理'''（'''Bayes' theorem'''）<ref name="李贤平_2010_贝叶斯公式">{{cite book |title=概率论基础 |author=李贤平 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=杨帆 (责任编辑) |others=王超 (责任校对) |series=普通高等教育“十一五”国家级规划教材 |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市崇西城区德外大街4号 |edition=3 |isbn=978-7-04-028890-2 |section=第2章“条件概率与统计独立性”第2.1节“条件概率、全概率公式，贝叶斯公式”中“三、贝叶斯(Bayes)公式”部分 |pages=69-72 |language=zh-cn |year=2010}}</ref>或称'''贝叶斯公式'''<ref>{{cite book |title=概率论与数理统计 |author1=盛骤 |author2=谢式千 |author3=潘承毅 |editor1=李蕊 (策划编辑) |editor2=蒋青 (责任编辑) |editor3=朱惠芳 (责任校对) |series= |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京西城区德外大街4号 |edition=4 |isbn=978-7-04-023896-9 |section=第1章“概率论的基本概念”第1.5节“条件概率”中“（三）全概率公式和贝叶斯公式”部分 |pages=17-20 |language=zh-cn |year=2008}}</ref>指出：
:<math>P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}</math>
</blockquote>

<!-- 本小节例题 -->
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相关例题：
求证条件概率的链式法则（chain rule）：
:<math>
\begin{array}{l}
 \mathrm{P}(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4) & = \mathrm{P}(E_1 \mid E_2 \cap E_3 \cap E_4) \cdot \mathrm{P}(E_2 \cap E_3 \cap E_4) \\
 & = \mathrm{P}(E_1 \mid E_2 \cap E_3 \cap E_4) \cdot \mathrm{P}(E_2 \mid E_3 \cap E_4) \cdot \mathrm{P}(E_3 \cap E_4) \\
 & = \mathrm{P}(E_1 \mid E_2 \cap E_3 \cap E_4) \cdot \mathrm{P}(E_2 \mid E_3 \cap E_4) \cdot \mathrm{P}(E_3 \mid E_4) \cdot \mathrm{P}(E_4)
\end{array}
</math>
（如果熟悉[[高中数学/不等式与数列/数学归纳法|数学归纳法]]，可以尝试证明此公式包含n个事件的一般情形。）

== 补充习题 ==
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== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|条件概率}}
{{Wikipedia|全概率公式}}
{{Wikipedia|贝叶斯公式}}

{{DEFAULTSORT: conditional probability and its related formulae}}
[[category:概率论]]
[[category:高中数学]]