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===== 导数的定义 =====
经过上面两个例子，我们可以看到，形如

:<math> \lim_{x_{1} \to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} </math>

的式子很重要。

事实上，对于一个给定的初等函数，对于定义域内(非端点)一个数<math>x_0</math>，上式总是会趋向一个定值。

如果我们令<math>x_1-x_0=\Delta x</math>，那么这个式子可以写作：

:<math> \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} </math>

定义：一般地，函数<math>y=f(x)</math>在<math>x=x_0</math>处的导数为<math> \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} </math>，记作<math>f'(x_0)</math>或<math>y'|_{x=x_0}</math>。

===== 导数的意义 =====

导数描述的实际上是一个函数<math>y=f(x)</math>在<math>x_0</math>处的瞬时变化率。从几何关系上讲（参见5.1.1切线），某一点导数的值即为此点切线的斜率（倾斜角的正切）。

===== 导函数 =====

函数<math>f(x)</math>在定义域内（除端点）某一点<math>x_0</math>的导数都是一个确定的数值<math>f'(x_0)</math>.

这样，当<math>x</math>变化时，<math>f'(x)</math>便是<math>x</math>的一个函数，我们称它为<math>f(x)</math>的导函数(derivative function)，经常也直接简称<math>f(x)</math>的导数。即

::<math> f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} </math>