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== 阅读指南 ==
希望快速了解或快速回顾高中物理的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。对于更广泛的读者而言，考试中的某些易错点可能包括出题者人为设置的陷阱，其目标只是为了在不同细心程度的学生们之间拉开分数差距，熟悉它们并不全都有助于理解本学科的知识精髓。

== 基础知识 ==
=== 定义 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<b><font color="#008000">定义1：物体在一条直线上运动，且在任意相等的时间间隔内的速度的变化量相等，这种运动称为“匀变速直线运动”（uniform variable rectilinear motion）。</font></b>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<b><font color="#008000">定义2：匀变速直线运动是加速度不变的直线运动。</font></b><ref>{{cite book |title=物理 |author=人民教育出版社物理室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16484-8 |section=第2章“直线运动”第2.5节“速度改变快慢的描述 加速度” |pages=29 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>
</blockquote>

[[File:Crystal Clear action info.png |Crystal Clear action info | 50px]]注意：加速度与初速度方向相同，可称为匀加速直线运动；加速度与初速度方向相反，可称为匀减速直线运动；但若物体运动途中速度改变方向，这两种就都不算了。

=== 4个基本公式 ===
先由加速度的定义式<math>\boldsymbol{a} = \frac {\Delta \boldsymbol{v}} {\Delta t}</math>
可知<math>\Delta \boldsymbol{v} = \boldsymbol{a} \Delta t</math>。注意到<math> \Delta \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v_t} - \boldsymbol{v_0} </math>，
其中<math>\boldsymbol{v_0}</math>是匀变速直线运动的初速度，<math>{\boldsymbol{ v_t}}</math>是末速度。由此得到重要公式：
<math>\boldsymbol{v_t} = \boldsymbol{v_0} + \boldsymbol{a}{\Delta t}</math>

另一方面，根据位移、时间与平均速度的关系可得：
<math>\Delta \boldsymbol{x_t} = \frac {(\boldsymbol{v_0}+ \boldsymbol{v_t}) \Delta t} 2 = \boldsymbol{v_0}t + \frac 1 2 a \Delta t^2</math>

如果将<math>t = \frac {v_t - v_0} a </math>带入上面的式子，还可以得到<math>\Delta x = \frac {v_t^2 - v_0^2} {2 a}</math>。（这2个公式是非矢量形式的表达。）

由此，可以看出，只要<math>v_0</math>、<math>v_t</math>、<math>a</math>、<math>t</math>、这4个物理量中知道了3个，就可以求出t时刻的位移了。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
[[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]]
4个基本公式列举如下<ref>{{cite book |title=Programming Game AI by Example |trans-title=游戏人工智能编程案例精粹 |author=马特·巴兰德 (Mat Buckland) |others=罗岱 (等人) |editor=王琳 |publisher=人民邮电出版社 |location=中国北京市崇文区夕照寺街14号 |edition=1 |isbn=978-7-115-17806-0 |section=第1章“数学和物理学初探”第1.2节“物理学”第1.2.6小节“加速度” |pages=22-26 |language=zh-cn |year=2008}}</ref><ref name="中国大陆全日制课本_匀变速运动">{{cite book |title=物理 |author=人民教育出版社物理室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16484-8 |section=第2章“直线运动”第2.6节“匀变速直线运动的规律”和第2.7节“匀变速直线运动规律的应用” |pages=30-36 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>：
* 基于加速度a的定义：<math>\Delta \boldsymbol{v} = \boldsymbol{a} \Delta t</math>或<math>\boldsymbol{v_t} = \boldsymbol{v_0} + \boldsymbol{a}{\Delta t}</math>
* 平均速度公式：<math>\Delta \boldsymbol{x_t} = \frac {(\boldsymbol{v_0}+ \boldsymbol{v_t}) \Delta t} 2</math>
* 位移随时间的变化：<math>\Delta \boldsymbol{x_t} = \boldsymbol{v_0}t + \frac 1 2 a \Delta t^2</math>
* 初、末速度的平方差：<math>v_t^2 - v_0^2 = 2 a \Delta x</math>
</blockquote>

大部分基础题都是给出其中的3个物理量，然后寻找包含已知量较多的公式，求剩下的1个或2个未知量。有些难题则可能不方便直接一步一步求解，需要联立方程组，或是使用特殊情形下的结论才能得到简便解法。

== 常用结论与常见模型 ==
=== 易错点：求“第几秒内的位移”和“第几秒末的位移”的区别 ===
这类问题经常只有1个字的细微区别，但是如果审题时没有足够留意，会导致所求量的含义完全不同。这是考试中利用文字游戏设置陷阱的做法。

=== 易错点：刹车问题与减速后折返问题 ===
<!-- 本小结例题1 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题1：汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是<math>x = 24t - 6t^2</math>，求它在前3秒内的位移大小。

<!-- 本小结例题2 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题2：小球以<math>v_0 = 6 m/s</math>的初速度从中间滑上表面光滑且足够长的斜面，且小球在斜面上运动时的加速度大小为<math>2 m/s^2</math>、加速度方向不变。问小球速度大小为<math>3 m/s</math>时运动了多少时间？

=== 模型：追及问题与相遇问题 ===

=== 规律与结论：平均速度与中间时刻瞬时速度的关系 ===
考虑匀变速直线运动的平均速度，则有：
<math>
\bar{v} = \frac{ \Delta \boldsymbol{x_t}} {t} = \frac {\boldsymbol{v_0}t + \frac 1 2 a \Delta t^2} {t}
= \boldsymbol{v_0}+ \frac 1 2 a \Delta t = \boldsymbol{ v_{\frac t 2}}
</math>

这说明匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度。这可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

<!-- 本小结例题1 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题1：
一物体做匀变速直线运动，依次经过A、B、C三个点。已知AB = BC，且质点在AB段运动的平均速度大小为<math>3 m/s</math>，在BC段运动的平均速度大小为<math>6 m/s</math>。求质点在B点的瞬时速度大小。

<!-- 本小结例题1的解答 -->
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>提示：质点在做匀变速运动，通过AB与BC段的所用时间长度并不相等，所以所求的在B时刻的瞬时速度大小并不等于在AB段的平均速度大小和在BC段的平均速度大小的算术平均数。但可以根据已知条件估算质点通过这两段路所用的时间之比。</p>
</div>
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>解答：<br />
设质点在AB段上运动的时间为<math>t_1</math>，在BC段上运动的时间为<math>t_2</math>，加速度大小为a，在B点处的瞬时速度大小为<math>v_B</math>。<br />
根据题意可知两段距离AB和BC相等，利用<math>x = \bar{v} t</math>对两端位移分别列式可得：<math>3 \times t_1 = \bar{AB} = \bar{BC} = 6 \times t_2</math>，即有<math>t_1 = 2 t_2</math>。<br />
又因为质点通过AB段的中间时刻的瞬时速度<math>v_1 = \bar{AB} = 3 m/s</math>，通过BC段的中间时刻的瞬时速度<math>v_2 = \bar{BC} = 6 m/s</math>，<br />
将得到的速度带入<math>v_2 - v_1 = a(\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2})</math>可以求出a。再根据<math>v_B - v_1 = a \frac{t_1}{2}</math>可以求出<math>v_B = 5 m/s</math>。
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
答案：<math>5 m/s</math>。
</div>

<!-- 本小结例题2 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题2：一物体做匀加速直线运动，通过一段长为L的位移所用的时间为<math>t_1</math>，紧接着又通过一段同样长为L的位移所用的时间为<math>t_2</math>，求物体运动的加速度大小。

=== 规律与结论：平均速度与中间位置瞬时速度的关系 ===
设匀变速直线运动的初速度大小为<math>v_0</math>，加速度大小为<math>a</math>，末速度大小为<math>v_t</math>，位移大小为<math>x</math>，物体经过这段位移的中点时的速度为<math>v_{x/2}</math>。则：<br />
对于前半段位移<math>\frac x 2</math>可以得到：<math>v_{\frac x 2}^2 - v_0^2 = 2 a \cdot \frac x 2</math>；<br />
对于后半段位移<math>\frac x 2</math>可以得到：<math>v_t^2 - v_{\frac x 2}^2= 2 a \cdot \frac x 2</math>；<br />
联立这2个式子可以解得：<math>v_{\frac x 2} = \sqrt{\frac{v_0^2 + v_t^2}{2}}</math>。

如果分析v-t图像的面积特点，还可以得到：不论加速还是减速，在匀变速直线运动中一定有<math>v_{\frac x 2} > v_{\frac t 2}</math>成立。

<!-- 本小结例题 -->
[[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题：
一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为<math>L</math>，火车头经过某路标时的速度为<math>v_1</math>，或车尾经过此路标时的速度为<math>v_2</math>，求：<br />
(1)火车的加速度大小a；<br />
(2)火车中点经过此路标时的速度v；<br />
(3)整列火车通过此路标所用的时间t。

<!-- 本小结例题的解答 -->
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>提示：火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动。此质点在初始时刻的速度为<math>v_1</math>，前进了大小为<math>L</math>的位移后，速度变为<math>v_2</math>，所求的v是经过<math>\frac L 2</math>处的速度。</p>
</div>
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>解答：<br />
(1)由匀加速直线运动公式<math>v_2^2 - v_1^2 = 2 a L</math>，可得：<math>a = \frac {v_2^2 - v_1^2}{2 L}</math>。<br />
(2)对两段位移分别列式：<br />
前一半位移：<math>v^2 - v_1^2 = 2 a \cdot \frac L 2</math>；<br />
后一半位移：<math>v_2^2 - v^2 = 2 a \cdot \frac L 2</math>；<br />
即<math>v^2 - v_1^2 = v_2^2 - v^2</math>，所以<math>v = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2}{2}}</math>。<br />
(3)根据火车在这段时间内的平均速度<math>\bar{v}= \frac{v_1 + v_2}{2}</math>，可得所用时间为
<math>t = \frac{L}{ \bar{v} } = \frac{L}{ \frac{v_1 + v_2}{2} } = \frac{2 L}{v_1 + v_2}</math>。
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
答案：(1)<math>a = \frac {v_2^2 - v_1^2}{2 L}</math>；(2)<math>v = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2}{2}}</math>；(3)<math>t = \frac{2 L}{v_1 + v_2}</math>。
</div>

=== 规律与结论：逐差相等 ===
在匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔<math>\Delta t</math>内，位移之差是一个常量，即<math>\Delta x = a (\Delta t)^2</math>。

假设物体依次经过<math>x_1</math>、<math>x_2</math>、<math>x_3</math>这3个点，且经过相邻2点所用的时间间隔都是<math>\Delta t</math>，那么有：
<math>
x_1 = \frac{1}{2} a t^2, \ x_2 = \frac{1}{2} a (t + \Delta t)^2, \ x_3 = \frac{1}{2} a (t + 2 \Delta t)^2
</math>

从点<math>x_1</math>运动到点<math>x_2</math>的位移为：<math>x_{12} = x_2 - x_1 = \frac{1}{2} a ((t + \Delta t)^2 - t^2) = \frac{1}{2} a (2 t \Delta t + (\Delta t)^2 )</math><br />
从点<math>x_2</math>运动到点<math>x_3</math>的位移为：<math>x_{23} = x_3 - x_2 = \frac{1}{2} a ((t + 2 \Delta t)^2 - (t + \Delta t)^2) = \frac{1}{2} a (2 t \Delta t + 3 (\Delta t)^2 )</math>

因此在时长相同的相邻的2段距离中的位移之差为：<math>x_{23} - x_{12} = \frac{1}{2} a \cdot 2 (\Delta t)^2 = a (\Delta t)^2</math>

[[File:Crystal Clear app 3d.png |Crystal Clear app 3d | 50px]]
知识背景：从[[w:等差数列|等差数列]]问题的角度看，因为位移关于时间的表达式是离散的二次函数，所以它的二阶[[w:差分|差分]]结果必为常数。

=== 规律与结论：比例关系 ===

== 图像分析 ==
{{expand |time=2020-10-23}}
从
<math> \boldsymbol{v_t}= \boldsymbol{v_0}+ \boldsymbol{a}{\Delta t} </math>
可以看出在匀变速直线运动中，速度与时刻呈一次函数关系。因此，'''匀变速直线运动的v-t图像是一条不与x轴平行的直线'''。

因此，它与坐标轴围成的图像是一个梯形，梯形的面积也就是匀变速直线运动的的位移。<ref>{{cite book |title=物理 |author=人民教育出版社物理室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16484-8 |section=第2章“直线运动”第2.6节“匀变速直线运动的规律”中的“阅读材料”部分 |pages=32-33 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>

<math> \bar{v} = \boldsymbol{ v_{\frac t 2} } </math>
匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度这一规律，可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

[[File:Crystal Clear app kdict.png |Crystal Clear app kdict | 50px]]
知识背景：如果推广到更一般的情形，分析任何函数曲线图中面积和斜率的含义，都可以直接利用[[w:量纲分析|量纲分析]]的方法。

== 补充习题 ==
[[File:Crystal Clear app ksirtet.png |Crystal Clear app ksirtet | 50px]]
[[File:Crystal Clear app laptop battery.png |Crystal Clear app laptop battery | 50px]]
* 一个物块从一个光滑且足够长的固定斜面顶端O点由静止释放后，先后通过斜面上的P、Q、N三点。已知物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间相等，且PQ长度为3m，QN长度为4m。求OP的长度。
 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
<p>解法1：<br />
首先，由初速度为零易知:<br />
<math>x_P = \frac{1}{2}a t_P^2, \ x_Q = \frac{1}{2}a t_Q^2, \ x_N = \frac{1}{2}a t_N^2</math><br />
其次,对已知的2段距离作比例式可得：<br />
<math>
\begin{align}
\frac{4}{3}
& = \frac{x_N - x_Q}{x_Q - x_P}
= \frac{\frac{1}{2}a t_N^2 - \frac{1}{2}a t_Q^2 }{\frac{1}{2}a t_Q^2 - \frac{1}{2}a t_P^2}
= \frac{t_N^2 - t_Q^2}{t_Q^2 - t_P^2}
= \frac{(t_N + t_Q)(t_N - t_Q)}{(t_Q + t_P)(t_Q - t_P)} \\
& = \frac{(t_N + t_Q) \Delta t}{(t_Q + t_P) \Delta t}
= \frac{t_N + t_Q}{t_Q + t_P}
= \frac{(t_Q + \Delta t) + t_Q}{t_Q + (t_Q - \Delta t)}
= \frac{2 t_Q + \Delta t}{2 t_Q - \Delta t} \\
\end{align}
</math><br />
即有<math>\frac{4}{3} = \frac{2 t_Q + \Delta t}{2 t_Q - \Delta t} \Rightarrow t_Q = 3.5 \Delta t</math>。<br />
最后将要求的x_P比上一段与其有关的距离x_Q可得：<br />
<math>\frac{x_P}{x_P + 3} = \frac{x_P}{x_Q}
= \frac{\frac{1}{2} a t_P^2}{\frac{1}{2} a t_Q^2}
= (\frac{t_P}{t_Q})^2 = (\frac{t_Q - \Delta t}{t_Q})^2
= (\frac{3.5 \Delta t - \Delta t}{3.5 \Delta t})^2
= (\frac{5}{7})^2
</math><br />
即有<math>\frac{x_P}{x_P + 3} = (\frac{5}{7})^2 \Rightarrow x_P = \frac{25}{8}</math>。
</p>
</div>

 <div class="collapsible " style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
<p>解法2：<br/>
根据题意，先列出下列各个式子(其中<math>\Delta t</math>为题中所给的2段相同时间间隔之一)：<br />
<math>
\left\{
\begin{array}{lr}
v_Q - 0 = a t_Q & ...(1) \\
\bar v_{OQ} \cdot t_Q = \frac{v_Q - 0}{2} \cdot t_Q = x_Q  & ... (2) \\
v_Q = \frac{3 + 4}{2 \Delta t} & ... (3) \\
4 - 3 = a (\Delta t)^2 & ... (4) \\
\end{array} \right.
</math>
</p>

<p>求解思路(按顺序依次求出或表示出)：<math>\Delta t \rightarrow a \rightarrow t_Q \rightarrow x_Q \rightarrow x_P</math>。<br />
首先由(3)式有<math>\Delta t = \frac{7}{2 v_Q}</math>，其次由(4)式有<math>a = \frac{1}{(\Delta t)^2} = \frac{1}{(\frac{7}{2 v_Q})^2} = \frac{4 v_Q^2}{49}</math>，<br />
再其次由(1)式有<math>t_Q = \frac{v_Q}{a} = \frac{v_Q}{ \frac{4 v_Q^2}{49} } = \frac{49}{4 v_Q}</math>，<br />
再其次由(2)式有<math>x_Q = \frac{v_Q}{2} \cdot t_Q = \frac{v_Q}{2} \cdot (\frac{49}{4 v_Q}) = \frac{49}{8}</math>，<br />
最后可得所求的答案<math>x_P = x_Q - 3 = \frac{49}{8} - 3 = \frac{25}{8}</math>。
</p>
<p>此外，<math>v_Q^2 - 0^2 = 2 a x_Q</math>是由式(1)和式(2)联合推导而来的，并非独立规律，所以当已经列出前2个式子时不能再重复列出此式。</p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
答案：<math>\frac{25}{8}</math>。
</div>

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT: uniform variable rectilinear motion}}
[[Category:高中物理]]