高中物理/力與運動/匀变速直线运动

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中物理的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。对于更广泛的读者而言，考试中的某些易错点可能包括出题者人为设置的陷阱，其目标只是为了在不同细心程度的学生们之间拉开分数差距，熟悉它们并不全都有助于理解本学科的知识精髓。

基础知识

定义

定义1：物体在一条直线上运动，且在任意相等的时间间隔内的速度的变化量相等，这种运动称为“匀变速直线运动”（uniform variable rectilinear motion）。

定义2：匀变速直线运动是加速度不变的直线运动。^[1]

注意：加速度与初速度方向相同，可称为匀加速直线运动；加速度与初速度方向相反，可称为匀减速直线运动；但若物体运动途中速度改变方向，这两种就都不算了。

4个基本公式

先由加速度的定义式 $𝒂 = \frac{Δ 𝒗}{Δ t}$ 可知 $Δ 𝒗 = 𝒂 Δ t$ 。注意到 $Δ 𝒗 = 𝒗_{𝒕} - 𝒗_{0}$ ，其中 $𝒗_{0}$ 是匀变速直线运动的初速度， $𝒗_{𝒕}$ 是末速度。由此得到重要公式： $𝒗_{𝒕} = 𝒗_{0} + 𝒂 Δ t$

另一方面，根据位移、时间与平均速度的关系可得： $Δ 𝒙_{𝒕} = \frac{(𝒗_{0} + 𝒗_{𝒕}) Δ t}{2} = 𝒗_{0} t + \frac{1}{2} a Δ t^{2}$

如果将 $t = \frac{v_{t} - v_{0}}{a}$ 带入上面的式子，还可以得到 $Δ x = \frac{v_{t}^{2} - v_{0}^{2}}{2 a}$ 。（这2个公式是非矢量形式的表达。）

由此，可以看出，只要 $v_{0}$ 、 $v_{t}$ 、 $a$ 、 $t$ 、这4个物理量中知道了3个，就可以求出t时刻的位移了。

4个基本公式列举如下^[2]^[3]：

基于加速度a的定义： $Δ 𝒗 = 𝒂 Δ t$ 或 $𝒗_{𝒕} = 𝒗_{0} + 𝒂 Δ t$

平均速度公式： $Δ 𝒙_{𝒕} = \frac{(𝒗_{0} + 𝒗_{𝒕}) Δ t}{2}$

位移随时间的变化： $Δ 𝒙_{𝒕} = 𝒗_{0} t + \frac{1}{2} a Δ t^{2}$

初、末速度的平方差： $v_{t}^{2} - v_{0}^{2} = 2 a Δ x$

大部分基础题都是给出其中的3个物理量，然后寻找包含已知量较多的公式，求剩下的1个或2个未知量。有些难题则可能不方便直接一步一步求解，需要联立方程组，或是使用特殊情形下的结论才能得到简便解法。

常用结论与常见模型

易错点：求“第几秒内的位移”和“第几秒末的位移”的区别

这类问题经常只有1个字的细微区别，但是如果审题时没有足够留意，会导致所求量的含义完全不同。这是考试中利用文字游戏设置陷阱的做法。

易错点：刹车问题与减速后折返问题

相关例题1：汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是 $x = 24 t - 6 t^{2}$ ，求它在前3秒内的位移大小。

相关例题2：小球以 $v_{0} = 6 m / s$ 的初速度从中间滑上表面光滑且足够长的斜面，且小球在斜面上运动时的加速度大小为 $2 m / s^{2}$ 、加速度方向不变。问小球速度大小为 $3 m / s$ 时运动了多少时间？

模型：追及问题与相遇问题

规律与结论：平均速度与中间时刻瞬时速度的关系

考虑匀变速直线运动的平均速度，则有： $\bar{v} = \frac{Δ 𝒙_{𝒕}}{t} = \frac{𝒗_{0} t + \frac{1}{2} a Δ t^{2}}{t} = 𝒗_{0} + \frac{1}{2} a Δ t = 𝒗_{\frac{t}{2}}$

这说明匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度。这可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

相关例题1：一物体做匀变速直线运动，依次经过A、B、C三个点。已知AB = BC，且质点在AB段运动的平均速度大小为 $3 m / s$ ，在BC段运动的平均速度大小为 $6 m / s$ 。求质点在B点的瞬时速度大小。

提示：质点在做匀变速运动，通过AB与BC段的所用时间长度并不相等，所以所求的在B时刻的瞬时速度大小并不等于在AB段的平均速度大小和在BC段的平均速度大小的算术平均数。但可以根据已知条件估算质点通过这两段路所用的时间之比。

解答：
设质点在AB段上运动的时间为 $t_{1}$ ，在BC段上运动的时间为 $t_{2}$ ，加速度大小为a，在B点处的瞬时速度大小为 $v_{B}$ 。
根据题意可知两段距离AB和BC相等，利用 $x = \bar{v} t$ 对两端位移分别列式可得： $3 \times t_{1} = \bar{A B} = \bar{B C} = 6 \times t_{2}$ ，即有 $t_{1} = 2 t_{2}$ 。
又因为质点通过AB段的中间时刻的瞬时速度 $v_{1} = \bar{A B} = 3 m / s$ ，通过BC段的中间时刻的瞬时速度 $v_{2} = \bar{B C} = 6 m / s$ ，
将得到的速度带入 $v_{2} - v_{1} = a (\frac{t_{1}}{2} + \frac{t_{2}}{2})$ 可以求出a。再根据 $v_{B} - v_{1} = a \frac{t_{1}}{2}$ 可以求出 $v_{B} = 5 m / s$ 。

答案： $5 m / s$ 。

相关例题2：一物体做匀加速直线运动，通过一段长为L的位移所用的时间为 $t_{1}$ ，紧接着又通过一段同样长为L的位移所用的时间为 $t_{2}$ ，求物体运动的加速度大小。

规律与结论：平均速度与中间位置瞬时速度的关系

设匀变速直线运动的初速度大小为 $v_{0}$ ，加速度大小为 $a$ ，末速度大小为 $v_{t}$ ，位移大小为 $x$ ，物体经过这段位移的中点时的速度为 $v_{x / 2}$ 。则：
对于前半段位移 $\frac{x}{2}$ 可以得到： $v_{\frac{x}{2}}^{2} - v_{0}^{2} = 2 a \cdot \frac{x}{2}$ ；
对于后半段位移 $\frac{x}{2}$ 可以得到： $v_{t}^{2} - v_{\frac{x}{2}}^{2} = 2 a \cdot \frac{x}{2}$ ；
联立这2个式子可以解得： $v_{\frac{x}{2}} = \sqrt{\frac{v_{0}^{2} + v_{t}^{2}}{2}}$ 。

如果分析v-t图像的面积特点，还可以得到：不论加速还是减速，在匀变速直线运动中一定有 $v_{\frac{x}{2}} > v_{\frac{t}{2}}$ 成立。

相关例题：一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为 $L$ ，火车头经过某路标时的速度为 $v_{1}$ ，或车尾经过此路标时的速度为 $v_{2}$ ，求：
(1)火车的加速度大小a；
(2)火车中点经过此路标时的速度v；
(3)整列火车通过此路标所用的时间t。

提示：火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动。此质点在初始时刻的速度为 $v_{1}$ ，前进了大小为 $L$ 的位移后，速度变为 $v_{2}$ ，所求的v是经过 $\frac{L}{2}$ 处的速度。

解答：
(1)由匀加速直线运动公式 $v_{2}^{2} - v_{1}^{2} = 2 a L$ ，可得： $a = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{2 L}$ 。
(2)对两段位移分别列式：
前一半位移： $v^{2} - v_{1}^{2} = 2 a \cdot \frac{L}{2}$ ；
后一半位移： $v_{2}^{2} - v^{2} = 2 a \cdot \frac{L}{2}$ ；
即 $v^{2} - v_{1}^{2} = v_{2}^{2} - v^{2}$ ，所以 $v = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}{2}}$ 。
(3)根据火车在这段时间内的平均速度 $\bar{v} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$ ，可得所用时间为 $t = \frac{L}{\bar{v}} = \frac{L}{\frac{v_{1} + v_{2}}{2}} = \frac{2 L}{v_{1} + v_{2}}$ 。

答案：(1) $a = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{2 L}$ ；(2) $v = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}{2}}$ ；(3) $t = \frac{2 L}{v_{1} + v_{2}}$ 。

规律与结论：逐差相等

在匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔 $Δ t$ 内，位移之差是一个常量，即 $Δ x = a (Δ t)^{2}$ 。

假设物体依次经过 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 这3个点，且经过相邻2点所用的时间间隔都是 $Δ t$ ，那么有： $x_{1} = \frac{1}{2} a t^{2}, x_{2} = \frac{1}{2} a (t + Δ t)^{2}, x_{3} = \frac{1}{2} a (t + 2 Δ t)^{2}$

从点 $x_{1}$ 运动到点 $x_{2}$ 的位移为： $x_{12} = x_{2} - x_{1} = \frac{1}{2} a ((t + Δ t)^{2} - t^{2}) = \frac{1}{2} a (2 t Δ t + (Δ t)^{2})$
从点 $x_{2}$ 运动到点 $x_{3}$ 的位移为： $x_{23} = x_{3} - x_{2} = \frac{1}{2} a ((t + 2 Δ t)^{2} - (t + Δ t)^{2}) = \frac{1}{2} a (2 t Δ t + 3 (Δ t)^{2})$

因此在时长相同的相邻的2段距离中的位移之差为： $x_{23} - x_{12} = \frac{1}{2} a \cdot 2 (Δ t)^{2} = a (Δ t)^{2}$

知识背景：从等差数列问题的角度看，因为位移关于时间的表达式是离散的二次函数，所以它的二阶差分结果必为常数。

规律与结论：比例关系

图像分析

Template:Expand 从 $𝒗_{𝒕} = 𝒗_{0} + 𝒂 Δ t$ 可以看出在匀变速直线运动中，速度与时刻呈一次函数关系。因此，匀变速直线运动的v-t图像是一条不与x轴平行的直线。

因此，它与坐标轴围成的图像是一个梯形，梯形的面积也就是匀变速直线运动的的位移。^[4]

$\bar{v} = 𝒗_{\frac{t}{2}}$ 匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度这一规律，可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

知识背景：如果推广到更一般的情形，分析任何函数曲线图中面积和斜率的含义，都可以直接利用量纲分析的方法。

补充习题

一个物块从一个光滑且足够长的固定斜面顶端O点由静止释放后，先后通过斜面上的P、Q、N三点。已知物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间相等，且PQ长度为3m，QN长度为4m。求OP的长度。

解法1：
首先，由初速度为零易知:
$x_{P} = \frac{1}{2} a t_{P}^{2}, x_{Q} = \frac{1}{2} a t_{Q}^{2}, x_{N} = \frac{1}{2} a t_{N}^{2}$
其次,对已知的2段距离作比例式可得：
$\begin{matrix} \frac{4}{3} & = \frac{x_{N} - x_{Q}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{\frac{1}{2} a t_{N}^{2} - \frac{1}{2} a t_{Q}^{2}}{\frac{1}{2} a t_{Q}^{2} - \frac{1}{2} a t_{P}^{2}} = \frac{t_{N}^{2} - t_{Q}^{2}}{t_{Q}^{2} - t_{P}^{2}} = \frac{(t_{N} + t_{Q}) (t_{N} - t_{Q})}{(t_{Q} + t_{P}) (t_{Q} - t_{P})} \\ = \frac{(t_{N} + t_{Q}) Δ t}{(t_{Q} + t_{P}) Δ t} = \frac{t_{N} + t_{Q}}{t_{Q} + t_{P}} = \frac{(t_{Q} + Δ t) + t_{Q}}{t_{Q} + (t_{Q} - Δ t)} = \frac{2 t_{Q} + Δ t}{2 t_{Q} - Δ t} \end{matrix}$
即有 $\frac{4}{3} = \frac{2 t_{Q} + Δ t}{2 t_{Q} - Δ t} \Rightarrow t_{Q} = 3.5 Δ t$ 。
最后将要求的x_P比上一段与其有关的距离x_Q可得：
$\frac{x_{P}}{x_{P} + 3} = \frac{x_{P}}{x_{Q}} = \frac{\frac{1}{2} a t_{P}^{2}}{\frac{1}{2} a t_{Q}^{2}} = (\frac{t_{P}}{t_{Q}})^{2} = (\frac{t_{Q} - Δ t}{t_{Q}})^{2} = (\frac{3.5 Δ t - Δ t}{3.5 Δ t})^{2} = (\frac{5}{7})^{2}$
即有 $\frac{x_{P}}{x_{P} + 3} = (\frac{5}{7})^{2} \Rightarrow x_{P} = \frac{25}{8}$ 。

解法2：
根据题意，先列出下列各个式子(其中 $Δ t$ 为题中所给的2段相同时间间隔之一)：
${\begin{matrix} v_{Q} - 0 = a t_{Q} & . . . (1) \\ {\bar{v}}_{O Q} \cdot t_{Q} = \frac{v_{Q} - 0}{2} \cdot t_{Q} = x_{Q} & . . . (2) \\ v_{Q} = \frac{3 + 4}{2 Δ t} & . . . (3) \\ 4 - 3 = a (Δ t)^{2} & . . . (4) \end{matrix}$

求解思路(按顺序依次求出或表示出)： $Δ t \to a \to t_{Q} \to x_{Q} \to x_{P}$ 。
首先由(3)式有 $Δ t = \frac{7}{2 v_{Q}}$ ，其次由(4)式有 $a = \frac{1}{(Δ t)^{2}} = \frac{1}{(\frac{7}{2 v_{Q}})^{2}} = \frac{4 v_{Q}^{2}}{49}$ ，
再其次由(1)式有 $t_{Q} = \frac{v_{Q}}{a} = \frac{v_{Q}}{\frac{4 v_{Q}^{2}}{49}} = \frac{49}{4 v_{Q}}$ ，
再其次由(2)式有 $x_{Q} = \frac{v_{Q}}{2} \cdot t_{Q} = \frac{v_{Q}}{2} \cdot (\frac{49}{4 v_{Q}}) = \frac{49}{8}$ ，
最后可得所求的答案 $x_{P} = x_{Q} - 3 = \frac{49}{8} - 3 = \frac{25}{8}$ 。

此外， $v_{Q}^{2} - 0^{2} = 2 a x_{Q}$ 是由式(1)和式(2)联合推导而来的，并非独立规律，所以当已经列出前2个式子时不能再重复列出此式。

答案： $\frac{25}{8}$ 。

参考资料

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[1] Template:Cite book

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[中国大陆全日制课本_匀变速运动-3] Template:Cite book

[4] Template:Cite book

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高中物理/力與運動/匀变速直线运动

目录

阅读指南

基础知识

定义

4个基本公式

常用结论与常见模型

易错点：求“第几秒内的位移”和“第几秒末的位移”的区别

易错点：刹车问题与减速后折返问题

模型：追及问题与相遇问题

规律与结论：平均速度与中间时刻瞬时速度的关系

规律与结论：平均速度与中间位置瞬时速度的关系

规律与结论：逐差相等

规律与结论：比例关系

图像分析

补充习题

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易错点：求“第几秒内的位移”和“第几秒末的位移”的区别

易错点：刹车问题与减速后折返问题

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规律与结论：平均速度与中间时刻瞬时速度的关系

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规律与结论：逐差相等

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