國中數學/指數記號

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當$n$為正整數，$a$為任意數時，我們定義$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}}$。

如$5^3=5\times 5\times 5=125$。

名詞介紹

在式子$a^n$當中：

1. $a^n$讀作$a$的$n$次方。
2. $a$稱作底數。
3. $n$稱作指數。
4. 當指數$n=1$時，我們會省略不寫。
5. 當指數$n=2$時，我們有時會稱$a^2$為$a$的平方。
6. 當指數$n=3$時，我們有時會稱$a^3$為$a$的立方。

如：在$7^4$中，

• $7^4$的底數為$7$。
• $7^4$的指數為$4$。
• $7^4$稱作「七的四次方」。

有時人們也會將$a^n$用「a^n」這樣的形式表示。

底數為正整數

底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以$n$次。

如：$7^4=7\times 7\times 7\times 7=2401$。

1的任意整數次方都是1。

另見：

• 10的整數次方

底數為0

0的任意正整數次方都是0。

底數為負整數

底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以$n$次。

如：$(-7{)}^4=(-7)\times (-7)\times (-7)\times (-7)=2401$。

但是必須注意：

1. $-a^n$與$(-a{)}^n$意義不相同，$-a^n$是$a^n$的相反數，$(-a{)}^n$是$\underset{n}{\underbrace{(-a)\times (-a)\times (-a)\times \cdots \times (-a)}}$。
2. -1的偶數次方為1，-1的奇數次方為-1。
3. 當指數為奇數時，答案為負數。(即$(-a{)}^n=-a^n$)
4. 當指數為偶數時，答案為正數。(即$(-a{)}^n=a^n$)

底數為小數

底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以$n$次。

如：$0.3^3=0.3\times 0.3\times 0.3=0.027$。

但是必須注意：

1. 當底數$0<a<1$時，$n$愈大，$a^n$的值就愈小。
2. 當底數$a>1$時，$n$愈大，$a^n$的值就愈大。

底數為分數

底數為分數的指數運算有兩種算法：

1. 直接將分數乘以$n$次。
2. 先將分子乘以$n$次得到$A$，再將分母乘以$n$次得到$B$，答案就是$\frac{A}{B}$。

如：

1. $(\frac{4}{5}{)}^3=\frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{64}{125}$。
2. 因為$4^3=4\times 4\times 4=64$，$5^3=5\times 5\times 5=125$，所以$(\frac{4}{5}{)}^3=\frac{64}{125}$。

但是必須注意：

1. ${\frac{a}{b}}^n$可能會與$\frac{a^n}{b}$的意義混淆，所以分數的次方需要先加上小括號，寫成$(\frac{a}{b}{)}^n$。
2. 帶分數必須先換成假分數再作次方的運算。如$(1\frac{4}{11}{)}^2=(\frac{15}{11}{)}^2=\frac{225}{121}$。
3. 當底數$0<a<1$時，$n$愈大，$a^n$的值就愈小。
4. 當底數$a>1$時，$n$愈大，$a^n$的值就愈大。

指數與四則運算

在數學式的運算中，有指數必須先算。 如：$3\times 5^2=3\times 25=75$，而不是$3\times 5^2=15^2=225$。

指數律

底下算式中，$a$、$b$是隨意兩個數，$m$、$n$是兩個正整數，則：

1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. $a^m÷a^n=a^{m-n}$($a\ne 0$)
3. $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$
4. $(a÷b{)}^n=a^n÷b^n$($b\ne 0$)
5. $(a^m{)}^n=(a^n{)}^m=a^{mn}$

指數為0

除了0之外，我們定義任意數的零次方為1，即$a^0=1$。

使用計算機計算指數

在工程計算機會有「$x^y$」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式，在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「$x^y$」→「指數」，不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算$7^4$就依序按下「$7$」→「$x^y$」→「$4$」即可得到螢幕顯示$2401$。

如果你只有傳統計算機，你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「$\times$」→「底數」→「$=$」→$\cdots$→「$=$」，按「$=$」的次數取決於指數數字，要按下「指數$-1$」次。

例如要算$7^4$就依序按下「$7$」→「$\times$」→「$7$」→「$=$」→「$=$」→「$=$」(共$4-1=3$次「$=$」)即可得到螢幕顯示$2401$。

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制，故有時計算的結果為近似值。如「$2^{100}$」實際上是「$1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376$」，但用計算機計算「$2^{100}$」可能會出現「$1.2676506\times 10^{30}$」或「$12676506E+30$」的字樣。那這代表的意思為何？我們會在科學記號做進一步的說明。

指數的應用

• 林多紙草書第79題
• 草履蟲的無性生殖。在恰當的環境下，每次分裂1隻可以分裂成2隻，再一次分裂就會從2隻變4隻，再一次分裂就會從4隻變8隻，……，所以經過$n$次分裂，原本1隻草履蟲會變成$2^n$隻草履蟲。
• 如果能夠摺一張厚度$0.1$毫米的紙$42$次，那麼就可以抵達月球。

課外補充：指數為負整數

我們知道若$a\ne 0$，則$a^0=1$。那麼根據指數律第2條$a^m÷a^n=a^{m-n}$($a\ne 0$)，我們知道$a^0÷a^n=a^{0-n}=a^{-n}$，又因為$a^0÷a^n=1÷a^n=\frac{1}{a^n}$，所以自然的，我們定義$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$(當然，$a\ne 0$)。

而利用指數律第4條，你會發現$(\frac{1}{a}{)}^n=(1÷a{)}^n=1^n÷a^n=1÷a^n=\frac{1}{a^n}$，所以有時也會定義$a^{-n}=(\frac{1}{a}{)}^n$($a\ne 0$)。

更多資料

• 指數(高中數學)