國中數學/根號

邊長為$2$的正方形，我們可以很輕易地回答面積為$4$。

可是反過來問，面積為$2$的正方形，它的邊長為何呢？

有面積為2的正方形嗎？

拿出一張邊長為$2$公分的色紙，以垂直邊長的方向對摺再對摺兩次，將色紙打開如下圖(點擊可以放大)中間。兩條摺痕的交點為紅點，將四個角往中間紅點摺，形成下圖最右邊的四邊形$ABCD$。

利用摺紙製作面積為$2$的正方形(使用Geogebra製作)

請實際自己操作，你將能更加體會。

討論

1. 四邊形$ABCD$為正方形。原因是什麼呢？
2. 四邊形$ABCD$的面積是多少平方公分呢？

結論

有面積為$2$平方公分的正方形。可是它的邊長是多少公分呢？

面積為2的正方形，邊長是多少公分呢?

討論

用尺量量看，面積為$2$平方公分的正方形，它的邊長大約為多少公分？

• 算算看，這個數的平方是否為$2$呢？
• 面積為$2$平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個一位小數公分之間？

利用計算機算算看，在$1.41$到$1.49$之間有沒有一個數的平方是$2$？

• 如果沒有，則面積為$2$平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個兩位小數公分之間？

利用計算機算算看，在$1.411$到$1.419$之間有沒有一個數的平方是$2$？

• 如果沒有，則面積為$2$平方公分的正方形，它的邊長介於哪兩個三位小數公分之間？
• 有沒有一個有限小數的平方剛好是$2$？

結論

我們無法使用一個有限小數表示面積為$2$的正方形邊長。所以我們需要引進一個新的東西—「根號」來幫助我們表示這樣的邊長。

根號

在國中的階段，我們利用正方形的邊長與面積來了解根號的意義。

我們定義一個面積為$a$的正方形，它的邊長為$\sqrt{a}$。

如面積為$2$的正方形，它的邊長為$\sqrt{2}$。

面積不可能為負數或0，不過我們特別定義$\sqrt{0}=0$。

重要概念：$\sqrt{a}\ge 0$，而且$a\ge 0$

用這樣的概念，面積為$4$的正方形，它的邊長為$\sqrt{4}$，但是面積為$4$的正方形，它的邊長本身就是$2$，所以事實上$\sqrt{4}=2$。

同樣的，面積為$x^2($其中$x>0)$的正方形，它的邊長為$\sqrt{x^2}$，但是面積為$x^2$的正方形，它的邊長本身就是$x$，而$0^2=0$，所以$\sqrt{0}=\sqrt{0^2}=0$，事實上

$\sqrt{x^2}=x(x\ge 0)\cdots (1)$

反過來說，邊長為$\sqrt{a}$的正方形，它的面積為$a$。

如邊長為$\sqrt{3}$的正方形，它的面積為$3$。

又因為正方形的面積公式為邊長的平方，$(\sqrt{0}{)}^2=0^2=0$，所以我們得到：

$(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0)\cdots (2)$

例題

例題$1.$面積為$1.7$的正方形，它的邊長為多少？

解：面積為$1.7$的正方形，它的邊長為$\sqrt{1.7}$。

例題$2.$邊長為$\sqrt{(-5{)}^2}$的正方形，它的面積為多少？

解：邊長為$\sqrt{(-5{)}^2}$的正方形，它的面積為$(-5{)}^2=25$。

• 注意：在例題$2.$中，邊長為$\sqrt{(-5{)}^2}$的正方形，它的面積為$25$，但是面積為$25$的正方形實際的邊長為$5$，所以$\sqrt{(-5{)}^2}=5$。也就是說，在第$(1)$式中，若$x<0$，它的結果會是$x$的相反數$-x$，即

$\sqrt{x^2}=-x(x<0)\cdots (3)$

習題

習題$1.$面積為$\frac{15}{13}$的正方形，它的邊長為多少？

習題$2.$邊長為$\sqrt{3.9}$的正方形，它的面積為多少？

完全平方數與開根號

在之前提到，面積為$x^2($其中$x>0)$的正方形，它的邊長為$\sqrt{x^2}=x$。所以有一些特殊的情況是可以計算根號的值：

當$\sqrt{a}$的$a$是某一個數的平方時。

當$a$是某一個整數的平方時，我們稱$a$為完全平方數。

前21個完全平方數如下表：

$n$	0	1	2	3	4	5
$n^2$	0	1	4	9	16	25
$n$	6	7	8	9	10
$n^2$	36	49	64	81	100
$n$	11	12	13	14	15
$n^2$	121	144	169	196	225
$n$	16	17	18	19	20
$n^2$	256	289	324	361	400

計算出$\sqrt{a}$的過程稱作$a$開根號。如$9$開根號可以得到$\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$。

在這裡要再次提醒：開根號的答案必定為正數。

例題

例題$3.$計算$\sqrt{\frac{144}{25}}$之值。

解：$\sqrt{\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{12^2}{5^2}}=\sqrt{(\frac{12}{5}{)}^2}=\frac{12}{5}$。

例題$4.$計算$\sqrt{0.0289}$之值。

解：$\sqrt{0.0289}=\sqrt{\frac{289}{10000}}=\sqrt{\frac{17^2}{100^2}}=\sqrt{(\frac{17}{100}{)}^2}=\frac{17}{100}$。

習題

習題$3.$計算$\sqrt{\frac{361}{169}}$之值。

習題$4.$計算$\sqrt{0.81}$之值。

問題與討論

設$a$是一個正數，則$a$與$\sqrt{a}$何者比較大？

1. 當$a=\frac{9}{4}$時，是$a$比較大還是$\sqrt{a}$比較大？
2. 當$a=\frac{1}{4}$時，是$a$比較大還是$\sqrt{a}$比較大？
3. 當$a=1.44$時，是$a$比較大還是$\sqrt{a}$比較大？
4. 當$a=0.04$時，是$a$比較大還是$\sqrt{a}$比較大？

平方根

對於一個數$a$，存在一個數$x$滿足$x^2=a$，則我們稱$x$為$a$的平方根。

如：$24^2=576$，所以$24$是$576$的平方根。

檢查一個數是不是另一數的平方根

要檢查$x$是不是$a$的平方根，只要實際計算$x^2(=x\times x)$是否等於$a$即可。

例題$5.$檢驗$-24$是否為$576$的平方根。

解：$(-24{)}^2=(-24)\times (-24)=576$，所以$-24$是$576$的平方根。

習題

習題$5.$檢驗$0.2$是否為$0.4$的平方根。

習題$6.$檢驗$1\frac{2}{3}$是否為$1\frac{4}{9}$的平方根。

平方根的性質

1. 因為對於一個正數$a$，$(\sqrt{a}{)}^2=a$且$(-\sqrt{a}{)}^2=a$，所以正數$a$有兩個平方根$\sqrt{a}$與$-\sqrt{a}$，其中$\sqrt{a}$稱作$a$的正平方根，$-\sqrt{a}$稱作$a$的負平方根，兩數互為相反數。
   • 特別的，$a$的兩個平方根可以記錄為$\pm \sqrt{a}$。
2. $0$只有一個平方根$0$。
3. 負數的平方根在國中階段是不存在的。

習題

習題$7.$是非題，下列敘述是否正確？

1. 因為沒有一個整數、分數或小數的平方為$15$，所以$15$沒有平方根。
2. $\sqrt{81}$的平方根為$\pm 9$。
3. $0.4$的平方根為$\pm 0.2$。
4. 如果$a$是$17$的平方根，則$-a$也是$17$的平方根。

利用計算機計算根號

在許多計算機上有一個按鈕「$\sqrt{}$」可以計算根號的近似值。要計算「$\sqrt{a}$」的值有部分的計算機要依序輸入「$\sqrt{}$」→「$a$」，也有依序輸入「$a$」→「$\sqrt{}$」或「$a$」→「$=$」→「$\sqrt{}$」的，你應該要依據自己的計算機性能而使用。

如計算「$\sqrt{\frac{4}{7}}$」依序按下「$\sqrt{}$」→「$4$」→「$÷$」→「$7$」就可以得到近似值$0.755928946$。

參見

• 根式
• 指數(高中數學)
• 複數(高中數學)