高中数学/函数与三角/三角恒等变换

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

本节是高中数学三角函数的最重要内容，也是后续微积分课程的重要基础。利用本节的公式，可以导出很多的特殊三角函数值。

预备知识

阅读本节内容需要掌握弧度制与任意角的三角函数值与和/差角公式章节的知识。

考试要求

在中国大陆的高考中，三角恒等变换是每年必考内容。高考中的三角函数题目一般是一到两道选择题以及一道解答题的某个分支，分值大多在8到13分之间，难度一般为中低等级。随着新课程标准的实施，对这部分内容的要求有一定的降低倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出对正余弦函数的图像与性质的考察。由于新课程标准中向量的引入，将它和平面向量结合起来考察也是高考的一个重要方向。

学习本节，需要熟练背诵本章的所有公式，并且需要熟练地正用、逆用、变形用其中的公式。为了要达到这个目标，需要大量做题，熟练运用公式，熟能生巧，方可学好此章。

基础知识

二倍角公式

由两角和的三角函数公式，容易得到如下的二倍角公式（double-angle identities）：

• $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
• $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$
• $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

注意：二倍角公式只适合将角执行一分为二的变形，三倍角和多倍角的三角函数另可推导出专门的公式。二倍角公式与三倍角公式、多倍角公式的形式都差别较大，不能直接认为也有$\sin 3\theta =3\sin \theta \cos \theta$成立。

我们先看无特殊限制条件的简单求值问题。这种题目大部分难度不大，初学时需要留意的是同时混有三种及以上三角函数的问题。一般这类混有正/余弦、正切的代数式或等式应该利用上关系式$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，尽量往只含有正弦或余弦符号的方向化简，即抓住“弦化切”的思路。只有一些特殊情形是需要反其道而行之，即进行“切化弦”的，我们等遇到了再讲。

相关例题1： 下列各式中，与$\sqrt{1-\sin 4}$相等的是(    )。

A.$\sin 2-\cos 2$；B.$\cos 2-\sin 2$；C.$\cos 2$；D.$-\cos 2$

相关例题2： 计算或化简下列各式：

(1) $(\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{12})(\cos \frac{\pi }{12}+\sin \frac{\pi }{12})$；

(2) ${\sin }^4\frac{\pi }{12}-{\cos }^2\frac{\pi }{12}$；

(3) $\sqrt{2-{\sin }^{2}2+\cos 4}$；

(4) $\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ }}-\frac{1}{\sin 170^{\circ }}$；

(5) $\frac{1-{\tan }^{2}75^{\circ }}{\tan 75^{\circ }}$；

(6) $\frac{\tan 14^{\circ }}{1-{\tan }^{2}14^{\circ }}\cdot \cos 28^{\circ }$。

(7) $\sin 50^{\circ }(1+\sqrt{3}\tan 10^{\circ })$；

(8) $4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }$；

(9) $\tan \frac{\pi }{8}-\cot \frac{\pi }{8}$。

相关例题3： 下列各式中，结果为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的是(    )。

A.$2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$；B.$1-2{\sin }^{2}15^{\circ }$；C.${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }$；D.$\frac{3\tan 15^{\circ }}{1-{\tan }^{2}15^{\circ }}$

相关例题4： 求证：${\cos }^2(A+B)-{\sin }^2(A-B)=\cos 2A\cos 2B$。

相关例题5： 求函数$f(x)=\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{3-3\cos x}$的最大值。
（提示：此题也可以使用柯西不等式求解。）

相关例题6： 求同时满足$0\le x<2\pi ,\sqrt{1-\sin 2x}=\sin x-\cos x$的x的取值范围。

相关例题7： 已知$0<x<\frac{\pi }{4},\sin 2x=m,\cos 2x=n,m\ne n$，则下列选项中与$\tan (\frac{\pi }{4}-x)$始终相等的是(    )。

A.$\frac{n}{1+m}$；B.$\frac{m}{1+n}$；C.$\frac{1-n}{m}$；D.$\frac{1-m}{n}$

解决条件求值问题则需要在化简或变形时紧密结合条件特点。

相关例题8： 已知$\frac{\cos 2x}{\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi }{4})}=\frac{1}{5}$，求$\sin 2x$的值。

相关例题9： 已知$\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{2}{3}$，求$\sin 2x$的值。

相关例题10： 已知$\sin (\frac{\pi }{6}-x)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\sin (2x+\frac{\pi }{6})$的值。

相关例题11： 已知$\frac{9-\cos 2x}{\cos x+1}=4$，求$(\sin x{)}^{2015}+(\cos x{)}^{2015}$的值。

相关例题12： 已知$A,B\in (0,\frac{\pi }{2}),\sin A=\frac{1}{7},\cos (A+B)=\frac{3}{5}$。

(1) 求$\sin (2A-\frac{\pi }{2})$的值。

(2) 求$\cos B$的值。

相关例题13： 已知$x\in (-\frac{\pi }{2},0),\cos x=\frac{4}{5}$，求$\tan 2x$的值。

相关例题14： 已知$\tan x=2$，求$\tan (x-\frac{\pi }{4})+\tan 2x$的值。

相关例题15： 已知A和B是锐角，且满足$\tan (A-B)=\sin 2B$，求证：$\tan A+\tan B=2\tan 2B$。

相关例题16： 已知$x\in (\frac{\pi }{2},\pi ),\sin x=\frac{4}{5}$。

(1) 求$\tan 2x$的值。

(2) 求$\cos (2x-\frac{\pi }{4})$的值。

相关例题17： 在平面直角坐标系xOy中，角A的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点$P(\frac{-3}{5},\frac{4}{5})$。再以角A的终边为始边，逆时针旋转$\frac{\pi }{4}$得到角B。

(1) 求$\tan A$的值。

(2) 求$\cos (A+B)$的值。

有时候通过初步的化简只能得到$A\sin x+B\cos x=C,A,B,C\in ℝ$这样的关系式，这时还可以结合已知角度范围和隐含条件毕氏三角学恒等式${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$联立方程得到所求角度的正余弦值。

相关例题18： 已知$\frac{\sin x-2\cos x}{\sin x+\cos x}=2$，求$\sin 2x$的值。

解答：
$\begin{array}{c}\frac{\sin x-2\cos x}{\sin x+\cos x}=2\\ \Rightarrow \sin x-2\cos x=2\sin x+2\cos x\\ \Rightarrow \sin x=-4\cos x\end{array}$
联立 $\{\begin{array}{c}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\\ \sin x=-4\cos x\end{array}$，可得$17{\sin }^{2}x=1$，即${\sin }^{2}x=\frac{1}{17}$。
$\sin 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-2\cdot \frac{1}{17}=1-\frac{2}{17}=\frac{15}{17}$。

答案：$\frac{15}{17}$。

相关例题19： 已知$x\in [\frac{\pi }{2},\pi ],\cos 2x=-\frac{4}{5}$，求$\sin x$的值。

相关例题20： 已知$x\in (-\frac{\pi }{2},0),\cos x=\frac{3}{5}$，求$\sin 2x$的值。

相关例题21： 已知$\tan (\frac{\pi }{4}-x)=\frac{1}{2}$，求$\tan 2x+\frac{1}{\cos 2x}$的值。

相关例题22： 设函数$f(x)=2\cos (x-\frac{\pi }{6})(x\in ℝ)$。

(1) 求$f(\pi )$的值。

(2) 已知$t\in (-\frac{\pi }{2},0),f(t+\frac{2\pi }{3})=\frac{6}{5}$，求$f(2t)$的值。

相关例题23： 已知角A的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y = 2x上。

(1) 求$\cos (2A+\frac{\pi }{4})$的值。

(2) 已知$A\in (0,\frac{\pi }{2}),B\in (-\frac{\pi }{2},0),\sin (B+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{10}}{10}$，求$A-B$的值。

半角公式与幂的升降

由二倍角公式，容易得到以下的半角公式（half-angle identities）：

• $\sin \theta =2\sin (\frac{\theta }{2})\cos (\frac{\theta }{2})$
• $\cos \theta =2{\cos }^2(\frac{\theta }{2})-1=1-2{\sin }^2(\frac{\theta }{2})={\cos }^2(\frac{\theta }{2})-{\sin }^2(\frac{\theta }{2})$
• $\tan \theta =\frac{2\tan (\frac{\theta }{2})}{1-{\tan }^2(\frac{\theta }{2})}$

上述的半角公式也叫做升幂公式。

升幂公式的常见变形为降幂公式：

• ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$
• ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$
• ${\tan }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }$

相关例题1： 计算$\sin \frac{\pi }{12}$。

相关例题2： 求函数$y=\frac{\sin x}{1+\cos x}$的最小正周期。

相关例题3： 已知$180^{\circ }<x<360^{\circ }$，化简：$\frac{(1+\sin x+\cos x)(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})}{\sqrt{2+2\cos x}}$。

相关例题4： 已知$x\in (-\pi ,0),\cos (\pi -x)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

(1) 求$\sin x$的值。

(2) 求${\cos }^2(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})+\sin (3\pi +\frac{x}{2})\sin (\frac{3\pi }{2}-\frac{x}{2})$的值。

相关例题5： 已知A为钝角，B为钝角，且满足$\sin A=\frac{4}{5},\sin B=\frac{12}{13}$。

(1) 求$\cos \frac{A-B}{2}$的值。

(2) 求$\tan \frac{A-B}{2}$的值。

辅助角公式

数学家李善兰（1810年－1882年）曾命名如下的辅助角公式： 形如$a\sin x+b\cos x$（a、b不同时为零）的式子可引入辅助角$\varphi$并逆用两角和的公式变形为$A\sin (x+\varphi )$或$A\cos (x+\varphi )$的形式：

$\begin{array}{c}a\sin x+b\cos x\\ =\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x)\\ =\sqrt{a^2+b^2}(\cos \varphi \sin x+\sin \varphi \cos x)\\ =\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )\end{array}$

其中辅助角$\varphi$所在的象限由a、b的符号决定，$\varphi$的值由$\tan \varphi =\frac{b}{a}$确定。

提示：辅助角公式虽然很常用，但是并没有正式的外文名称。

相关例题1： 下列函数中，以$\frac{\pi }{2}$为最小正周期的是(    )。

A.$y=\sin 2x+\cos 2x$；B.$y=\sin 2x\cos 2x$；C.$y=\cos (4x+\frac{\pi }{2})$；D.$y={\sin }^{2}2x-{\cos }^{2}2x$

相关例题2： 已知$A>0,b\in ℝ,2{\cos }^{2}x+\sin 2x=A\sin (\omega x+\varphi )+b$，求A和b的值。

解答：
$\begin{array}{c}2{\cos }^{2}x+\sin 2x=2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}+\sin 2x\\ =1+\cos 2x+\sin 2x\\ =1+2(\sin 2x\cdot \frac{1}{2}+\cos 2x\cdot \frac{1}{2})\\ =1+2\sin (2x+\frac{\pi }{4})\end{array}$
将上述结果与$A\sin (\omega x+\varphi )+b$比较系数可得：A = 2, b = 1。

答案：A = 2, b = 1。

相关例题3： 求函数$y=\frac{1}{2}\sin 2x+{\sin }^{2}x(x\in ℝ)$的值域。

解答：
$\begin{array}{c}y=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1-\cos 2x}{2}\\ =\frac{1}{2}\sin 2x-\cos 2x\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=(\sin 2x\cdot \frac{1}{2}-\cos 2x\cdot \frac{1}{2})+\frac{1}{2}=(\sin 2x\cos \frac{\pi }{4}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{4})+\frac{1}{2}=\sin (2x-\frac{\pi }{4})+\frac{1}{2}\end{array}$
因为$-1\le \sin (2x-\frac{\pi }{4})\ge 1$，所以$-\frac{1}{2}\le \sin (2x-\frac{\pi }{4})+\frac{1}{2}\ge \frac{3}{2}$。即y的值域是$[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$。

答案：$[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$。

相关例题4： 求函数$y=\sin (x-\frac{\pi }{6})\cos x$的最大值。

解答：
$\begin{array}{c}y=(\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6})\cos x\\ =(\sin x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\cos x\cdot \frac{1}{2})\cos x\\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\cos x-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x\\ =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2\sin x\cos x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}\\ =\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x)+\frac{1}{4}\\ =\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi }{6}\sin 2x-\sin \frac{\pi }{6}\cos 2x)+\frac{1}{4}\\ =\frac{1}{2}\sin (2x-\frac{\pi }{6})+\frac{1}{4}\\ \le \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\end{array}$

答案：$\frac{3}{4}$。

点评：本题也适合使用积化和差公式求解。

辅助角公式在物理学中常用于合成同频率的简谐波函数。

知识背景：如果不使用添加辅助角的做法也可以通过利用波动理论中会学到的“旋转矢量法”并结合解三角形的方法求解合成结果。这种基于矢量的几何法直观，但是不如使用辅助角公式的代数方法快捷。我们也会在介绍复数与三角学的章节里继续讨论这一做法。

相关例题5： 求函数$f(x)=\cos (x+a)+\cos x(a\ne 0)$的最大值。

三角恒等变换常用公式汇总

我们集中列出考试中最常用的三角函数变换公式：

公式名称或类别	内容
和角公式与差角公式	$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ $\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$
二倍角公式	$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$ $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$
半角公式/升幂公式	$\sin \theta =2\sin (\frac{\theta }{2})\cos (\frac{\theta }{2})$ $\cos \theta =2{\cos }^2(\frac{\theta }{2})-1=1-2{\sin }^2(\frac{\theta }{2})={\cos }^2(\frac{\theta }{2})-{\sin }^2(\frac{\theta }{2})$ $\tan \theta =\frac{2\tan (\frac{\theta }{2})}{1-{\tan }^2(\frac{\theta }{2})}$
降幂公式	${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ ${\tan }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }$
辅助角公式	$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (\theta +\arctan \frac{b}{a})$

由于这些公式都是从和角公式和差角公式推出来的，原则上只要知道和角公式和差角公式，就可以推出其它公式。但是由于考试的时间限制，熟记这些衍生公式也并无坏处。读者应该在练习习题的过程中反复熟悉它们，而非一味死记硬背。此外，和差化积、积化和差公式、万能公式也比较有名，但是在高中阶段的考试和实际应用中都不如上述公式常用。

提示：不少教科书上会列出大量的“诱导公式”。这些诱导公式都可以通过和角公式和差角公式快速得到，并无记忆的价值。

相关例题1： 已知$\cos (x+\frac{\pi }{2})=\frac{4}{5}$，求$\cos 2x$的值。

相关例题2： 已知$A,B\in (\frac{\pi }{2},\pi ),\sin A=\frac{2\sqrt{5}}{5},\sin (A-B)=\frac{-\sqrt{10}}{10}$，求$\sin B$的值。

相关例题3： 已知$\cos (x+\frac{\pi }{12})=\frac{\sqrt{2}}{3}$，求$\sin (\frac{\pi }{3}-2x)$的值。

相关例题4： 已知$A\in (\frac{\pi }{2},\pi ),B\in (0,\frac{\pi }{2}),\sin (A+\frac{\pi }{8})=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos (B+\frac{3\pi }{8})=-\frac{3}{5}$，求$\cos (A+B)$的值。

相关例题5： 已知$\tan (A-B)=\frac{2}{3},\tan (\frac{\pi }{6}-B)=\frac{1}{2}$，求$\tan (A-\frac{\pi }{6})$的值。

相关例题6： 已知$A,B\in (0,\frac{\pi }{2}),\sin (2A+B)=\frac{3}{2}\sin B$，求$\frac{\tan (A+B)}{\tan A}$的值。

相关例题7： 已知$A,B\in (0,\pi ),\sin (A+B)=\frac{5}{13},\tan (\frac{A}{2}+\frac{\pi }{4})=3$。

(1) 求$\cos A$的值。

(2) 求$\cos B$的值。

相关例题8： 已知$x\in (\frac{\pi }{2},\pi ),\sin x=\frac{3}{5}$。

(1) 求$\cos x$和$\tan (x+\pi )$的值。

(2) 求$\sin (x+\frac{\pi }{4})$和$\cos (x-\frac{\pi }{3})$的值。

相关例题8： 求证正弦与余弦的下列平方差公式：

(1) $\sin (\alpha +\beta )\cdot \sin (\alpha -\beta )={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta$；

(2) $\cos (\alpha +\beta )\cdot \cos (\alpha -\beta )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\beta$。

常用结论与常见模型

弦化切的技巧与数字“1”的转换

有的问题只要设法同时拼凑出${\sin }^{2}x$与${\cos }^{2}x$之和，再套用毕氏三角学恒等式${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$替换掉成对的正余弦平方和，即可基本解决问题。

相关例题1： 已知$\tan x+\frac{1}{\tan x}=4$，求$\sin 2x$的值。

相关例题2： 已知$\sin x+\cos x=-2$，求$\tan x+\frac{1}{\tan x}$的值。

相关例题3： 已知$\frac{\cos 2x}{\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})}=\frac{1}{2}$，求$\tan x+\frac{1}{\tan x}$的值。

相关例题4： 已知$x\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}),\sin (\frac{\pi }{4}-x)=\frac{-3}{5}$，求$\cos 2x$的值。

相关例题5： 已知$x\in (0,\frac{\pi }{3}),\sqrt{6}\sin x+\sqrt{2}\cos x=\sqrt{3}$。

(1) 求$\tan (x+\frac{\pi }{6})$的值。

(2) 求$\cos (2x+\frac{7\pi }{12})$的值。

有一类“正余弦组成的齐次分式”问题需要对分子和分母同除以$\cos x$或${\cos }^{2}x$，将正余弦反过来化为正切的形式。

相关例题6： 已知$\tan x=3$，求$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$的值。

相关例题7： 已知$\tan x=3$，求$\frac{\sin 2x}{1+{\cos }^{2}x}$的值。

当计算或化简的分式不是齐次式时，有时也可以通过对“1”的分解构造齐次式。由于$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$，所以单独出现的“1”可以被转换为三角函数的2次项。

相关例题8： 计算或化简下列各式：

(1) $\sqrt{1+\sin 2}$

(2) $\frac{\cos 20^{\circ }}{\cos 35^{\circ }\sqrt{1-\sin 20^{\circ }}}$

相关例题9： 已知$\tan x=3$，求${\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x$的值。

相关例题10： 已知$x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$，求$\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos x)}$的值。

相关例题11： 已知$x\in (\frac{\pi }{2},\pi ),\cos x=\frac{-3}{5}$。

(1) 求$\tan x$的值。

(2) 求$\frac{\cos 2x}{\sin 2x+1}$的值。

角的拼拆

相关例题1： 已知函数$f(x)=\sin (2x-\frac{\pi }{6})+2{\cos }^{2}x-1(x\in ℝ)$。

(1) 求函数$f(x)$的最大值以及取得最大值时相应的x的集合。

(2) 若$t\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}),f(t)=\frac{4}{5}$，求$\cos 2t$的值。

解答（方法1）：
(1)
$\begin{array}{c}f(x)=\sin (2x-\frac{\pi }{6})+2{\cos }^{2}x-1\\ =\sin (2x-\frac{\pi }{6})+(2{\cos }^{2}x-1)\\ =(\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{6})+\cos 2x\\ =(\sin 2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\cos 2x\cdot \frac{1}{2})+\cos 2x\\ =\sin 2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot \frac{1}{2}\\ =\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}=\sin (2x+\frac{\pi }{6})\le 1\end{array}$
由于这是一个正弦型函数，易知当$2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$（即$x=\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$）时，函数$f(x)=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$取得最大值1。
(2) 由前一问所得的化简结果和t的已知范围可知：
$f(t)=\sin (2t+\frac{\pi }{6})(t\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$
又因为已知$f(t)=\frac{4}{5}$，所以有：
$\begin{array}{c}\sin (2t+\frac{\pi }{6})=\frac{4}{5}\\ \Rightarrow \sin 2t\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2t\sin \frac{\pi }{6}=\frac{4}{5}\\ \Rightarrow \sin 2t\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2t\cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{5}\\ \Rightarrow \sqrt{3}\sin 2t+\cos 2t=\frac{8}{5}\end{array}$
将毕氏三角学恒等式${\sin }^{2}2t+{\cos }^{2}2t=1$代入，并注意到$\sin 2t>0(2t\in (\frac{\pi }{2},\pi ))$，可得：
$\begin{array}{c}\sqrt{3}\sqrt{1-{\cos }^{2}2t}+\cos 2t=\frac{8}{5}\\ \sqrt{3}\sqrt{1-{\cos }^{2}2t}=\frac{8}{5}-\cos 2t\\ 3(\sqrt{1-{\cos }^{2}2t}{)}^2=(\frac{8}{5}-\cos 2t{)}^2\\ 3(1-{\cos }^{2}2t)=(\frac{8}{5}{)}^2-\frac{16}{5}\cos 2t+{\cos }^{2}2t\\ 4{\cos }^{2}2t-\frac{16}{5}\cos 2t-\frac{11}{25}=0\end{array}$
这可以看成是关于$\cos 2t$的二次函数。解得：$\cos 2t=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$或$\cos 2t=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$（因此时$\cos 2t<0(2t\in (\frac{\pi }{2},\pi ))$故舍去后一个根）。

解答（方法2，仅限第2问）：
(2) 根据前面的讨论和已知条件，容易得到：
$\sin (2t+\frac{\pi }{6})=\frac{4}{5}$
由于$t\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$，也即$2t+\frac{\pi }{6}\in (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6},\pi +\frac{\pi }{6})\subset (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$，所以有：
$\begin{array}{c}\cos (2t+\frac{\pi }{6})=-\sqrt{1-{\sin }^2(2t+\frac{\pi }{6})}=-\sqrt{1-(\frac{4}{5}{)}^2}=-\frac{3}{5}\\ \Rightarrow \cos 2t=\cos ((2t+\frac{\pi }{6})-\frac{\pi }{6})=\cos (2t+\frac{\pi }{6})\cos \frac{\pi }{6}+\sin (2t+\frac{\pi }{6})\sin \frac{\pi }{6}\\ =\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}+(-\frac{3}{5})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{10}-\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}\end{array}$

答案：(1)当$x=\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z}$时，函数f(x)取得最大值1；(2)$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$。

点评：第2问求$\cos 2t$的值时，可以使用联立方程组的方法，也可以使用巧妙拼凑角的方法。巧妙拼凑角的方法由于比较简短，一般更常用，但是需要注意角的范围对相关函数取值正负的影响。

相关例题2： 设函数$f(x)=\cos (2x+\frac{\pi }{3})+2{\sin }^{2}x(x\in ℝ)$。

(1) 求函数$f(x)$的最大值及取得最大值时x的集合。

(2) 若$t\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}),f(t)=\frac{2}{5}$，求$\sin 2t$的值。

解答：
(1)
$\begin{array}{c}f(x)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{3}+2\frac{1-\cos 2x}{2}\\ =-(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x)+1\\ =-\sin (2x+\frac{\pi }{6})+1\le -(-1)+1=2\end{array}$
这是一个正弦型函数，所以$f(x{)}_{max}=2$，并且取得最大值时满足$2x+\frac{\pi }{6}=2k\pi -\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$，即$x=k\pi -\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$。
(2) 因为$f(t)=\frac{3}{5}$，所以$\sin (2t+\frac{\pi }{6})=\frac{3}{5}$。
又因为$t\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$，即$2t+\frac{\pi }{6}\in (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6},\pi +\frac{\pi }{6})\subset (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$，所以$\cos (2t+\frac{\pi }{6})=-\frac{4}{5}$，即：
$\begin{array}{c}\sin 2t=\sin ((2t+\frac{\pi }{6})-\frac{\pi }{6})=\sin (2t+\frac{\pi }{6})\cos \frac{\pi }{6}-\cos (2t+\frac{\pi }{6})\sin \frac{\pi }{6}\\ =\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{4}{5})\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{10}+\frac{4}{10}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}\end{array}$

答案：(1)当$x=k\pi -\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$时，函数f(x)取得最大值2；(2)$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$。

三角函数的单调性与图象性质

相关例题1： 已知函数$f(x)=\cos 2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x$，则下列说法中正确的是(    )。

A.存在$x_1,x_2$，当$x_1-x_2=\pi$时，有$f(x_1)=f(x_2)$成立。

B.$f(x)$在区间$[\frac{-\pi }{6},\frac{\pi }{3}]$上单调递增。

C.函数$f(x)$的图象关于点$(\frac{\pi }{12},0)$对称。

D.函数$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{5\pi }{12}$对称。

相关例题2： 求函数$f(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$在区间$[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$上的最大值。

相关例题3： 设函数$f(x)=2\cos x\sin (x-\frac{\pi }{3})+\sqrt{3}{\sin }^{2}x+\sin x\cos x$。

(1) 求$f(x)$的最小正周期。

(2) 分析$f(x)$在区间$[0,\pi ]$上的单调性。

相关例题4： 设函数$f(x)=\sin (\frac{5\pi }{6}-2x)-2\sin (x-\frac{\pi }{4})\cos (x+\frac{3\pi }{4})$。

(1) 求函数$f(x)$的最小正周期和单调递增区间。

(2) 若$x_1,x_2$是函数$y=f(x)-\frac{1}{2}$的2个零点，求$|x_1-x_2|$的最小值。

涉及其它常见函数单调性或极值的问题

相关例题： 求函数$f(x)=2\sin x+\sin 2x(x\in ℝ)$的最小值。

参数求值问题

相关例题1： 已知函数$f(x)=\sin x+a\cos x(a\in ℝ)$图象的一条对称轴是直线$x=\frac{\pi }{6}$，求a的值。

相关例题2： 已知$\tan \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{5\pi }{12}=\sin \frac{5\pi }{12}-m\sin \frac{\pi }{12}$，求实数m的值。

相关例题3： 已知A是第三象限的角，且满足$\sin A+\cos A=2m,\sin 2A=m^2$，求实数m的值。

三角换元法

需要求解或化简的公式具有与三角恒等式一致的形式时，可以考虑采用三角换元的方法，将其换元后变为三角函数的变换问题处理。就中学阶段而言，在后面涉及极坐标与参数方程的章节中，也会看到一些三角换元法的应用。

相关例题： 求函数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}(0\le x\le 1)$的最大值。

解答：
因为$0\le x\le 1$，且比较麻烦的$\sqrt{1-x^2}$这一项具有与之形式匹配的三角恒等式，于是可以作代换$x=\cos \theta (\theta \in [0,\frac{\pi }{2}])$。
注意到此时$0\le \cos \theta \le 1$，那么有：
$\begin{array}{c}f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\\ =\cos \theta +\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\\ =\cos \theta +\sqrt{{\cos }^2\theta }\\ =\cos \theta +\cos \theta \\ =2\cos \theta \le 2\cdot 1=2\end{array}$

答案：2。

点评：(1)作换元时，可能会需要在最后一步进行回代，也就是可能会将化简后的表达式重新换回原来的变量。这需要作逆代换，也就是用到原代换的反函数。出于这一考虑，一般需要寻找合适的单调性函数进行换元。通常来说，只有单调且连续的函数容易保证反函数的存在性，也就是使后续回代步骤的逻辑前提得到满足。对于三角换元法的例子而言，我们一般只会选取三角函数的一段单调区间作为变量代换的范围。(2)如果题目的限制条件变为$-1\le x\le 1$，那么仍然能使用三角换元法，但是开平方时需要按正负两种不同情况分类讨论，做法本质还是一样的。

涉及三角形的问题

相关例题1： 已知等腰三角形的一个底角的余弦值为$\frac{2}{3}$，求这个三角形顶角的正弦值。

相关例题2： 已知三角形ABC满足$\sin A\sin B={\cos }^2\frac{C}{2}$，则此三角形的形状是(    )。

A.等边三角形；B.等腰三角形；C.等腰直角三角形；D.直角三角形

相关例题3： 已知三角形ABC满足$\sin C+\sin (B-A)=\sin 2A$，则此三角形的形状是(    )。

A.等腰三角形；B.直角三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形或直角三角形

相关例题4： 已知三角形ABC的3个内角满足条件$\sin A{\cos }^2\frac{C}{2}+\sin C{\cos }^2\frac{A}{2}=\frac{3}{2}\sin B$，求证：$\sin A+\sin C=2\sin B$。

补充习题

• 下列各式中，结果为1的是(    )。

A.$\frac{22.5^{\circ }}{1-{\tan }^{2}22.5^{\circ }}$；B.$\tan 15^{\circ }{\cos }^{2}15^{\circ }$；C.$\frac{\sqrt{3}}{3}{\cos }^2\frac{\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}}{3}{\sin }^2\frac{\pi }{12}$；D.$\sqrt{\frac{1-\cos 60^{\circ }}{2}}$

• 下列各式与$\tan x$相等的是(    )。

A.$\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}$；B.$\frac{\sin x}{1+\cos x}$

C.$\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}$；D.$\sqrt{\frac{1+\cos (\pi +2x)}{2}}\cdot \frac{1}{\cos x}(x\in (0,\pi ))$

• 计算或化简下列各式：
  

(1) $\tan 9^{\circ }+\cot 117^{\circ }-\tan 243^{\circ }-\cot 351^{\circ }$；

(2) $\tan 15^{\circ }-\cot 15^{\circ }$；

(3) $\frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ }}-\frac{1}{\cos 20^{\circ }}$。

• 已知$\tan x=\frac{1}{3}$，求$\frac{\sin x+2\cos x}{5\cos x-\sin x}$的值。
• 已知A是函数$f(x)=2\sin (2018x+\frac{\pi }{4})+\cos (2018x-\frac{\pi }{4})$的最大值。若存在实数$x_1,x_2$，使得对于任意实数x总有$f(x_1)\le f(x)\le f(x_2)$成立，求$A\cdot |x_1-x_2|$的最小值。
• 已知下列3个式子都等于同一个常数：
  

${\cos }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }-\sqrt{3}\sin 15^{\circ }\sin 15^{\circ }$

${\cos }^{2}80^{\circ }+{\cos }^2(-50^{\circ })-\sqrt{3}\sin 80^{\circ }\sin (-50^{\circ })$

${\cos }^{2}170+{\cos }^2(-140^{\circ })-\sqrt{3}\sin 170^{\circ }\sin (-140^{\circ })$

(1) 求出这个常数。

(2) 将其推广为一个三角恒等式，并给出证明。

参见

• 万能公式与多倍角相关公式
• 复数与三角学