动力气象学/大气运动基本方程组

运动方程

对于单位质量的气团，根据牛顿第二定律有

• $\frac{d_a{\overrightarrow{V}}_a}{dt}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i$

其中$d_a$表示绝对微分，${\overrightarrow{V}}_a$为绝对速度，$\sum _i{\overrightarrow{F}}_i$为单位质量空气质点受到的真实力。上式在惯性坐标系中成立。

绝对加速度=相对加速度+牵连加速度

• $\frac{d_a{\overrightarrow{V}}_a}{dt}=\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}+\frac{d_e\overrightarrow{V}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}-{\mathrm{\Omega }}^2\overrightarrow{R}+2\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\times \overrightarrow{V}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i$

其中：牵连加速度=向心加速度+科氏加速度

• $\frac{d_e\overrightarrow{V}}{dt}=-{\mathrm{\Omega }}^2\overrightarrow{R}+2\mathrm{\Omega }\wedge \overrightarrow{V}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i$

因此：

• $\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i+{\mathrm{\Omega }}^2\overrightarrow{R}-2\mathrm{\Omega }\wedge \overrightarrow{V}$

连续方程

质量守恒定律应用于研究大气运动，其数学表达式称为连续方程。

拉格朗日观点

• $\frac{d\rho }{dt}+\rho \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{V}=0$

其中：

• $\frac{d\rho }{dt}$：气团密度随体变化率
• $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{V}=\frac{1}{\delta \tau }\frac{d\delta \tau }{d\dot{\tau }}$：气团体积的相对变化率

欧拉观点

• $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{V})=0$

其中：

• $\frac{\partial \rho }{\partial t}$：固定空间密度的局地变化率——单位时间单位空间体积（固定）内的质量变化
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{V})$：单位时间单位空间体积内流体质量的流入流出量

状态方程

理想气体状态方程：$p=\rho RT$

热流量方程

根据热力学第一定律（能量守恒定律）：

• $C_V\frac{dT}{dt}+P\frac{d\alpha }{dt}=\dot{Q}$

即：单位质量气团外界加热率＝内能变化率＋气团膨胀反抗压力作功率

热流量方程的另外一种常用表达：

• $p\alpha =RT\to \frac{d}{dt}(P\alpha )=\frac{d}{dt}(RT)$

$P\frac{d\alpha }{dt}+\alpha \frac{dP}{dt}=R\frac{dT}{dt}$

$(C_V+AR)\frac{dT}{dt}-\alpha \frac{dP}{dt}=\dot{Q}\Rightarrow C_p\frac{dT}{dt}-\alpha \omega =\dot{Q}$

其中A为热功当量

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至此，我们已经得到关于大气运动的四个独立方程，联立为闭合方程组：

$\{\begin{array}{c}\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}=\overrightarrow{g}-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p-2\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{V}+\overrightarrow{F_{\gamma }}\\ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{V})=0\\ p=\rho RT\\ C_p\frac{dT}{dt}-\alpha \omega =\dot{Q}\end{array}$