多變量微積分/多元微分学

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多元函数基本定义

二重极限

设函数f(x,y)在区域D内有定义，且点($x_0$,$y_0$)是该区域的聚点。$\mathrm{\forall }\epsilon >0$ ,$\mathrm{\exists }\delta$，对于$(x,y)\in D$，在一下情况下：

$0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$

满足：

$|f(x,y)-C|<\epsilon$

则称C是函数f(x,y)在点($x_0$,$y_0$)的二重极限。 记作：

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)=C$

多元函数的连续性

若函数f(x,y)在点($x_0$,$y_0$)的某个邻域内满足：

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$

则称函数f(x,y)在点($x_0$,$y_0$)处连续。

求导法则

复合求导法

1.若函数f(x,y)可微，且x=$\varphi$(t)，y=$\phi$(t)都对t可导，则复合函数f($\varphi$(t),$\phi$(t))也对t可导，且满足：

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

2.若函数f(u,v)可微，且u=$\varphi$(x,y)，v=$\phi$(x,y)都对t可导，则复合函数f($\varphi$(x,y),$\phi$(x,y))也对(x,y)存在偏导数，且满足：

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial u}{\partial y}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial u}\\ \\ \frac{\partial f}{\partial v}\end{array}\right)$