空间直线及其方程

空间直线及其方程

空间直线的一般方程

定义：若平面{ $Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ }与平面{ $Π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ }相交于直线 $l$ ，则直线 $l$ 的一般方程为：

${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 \end{matrix}$

已知直线上一点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 和它的方向向量s=(m,n,p)，设直线上的动点为M(x,y,z)则向量 $M M_{0} / / s$

所以两向量的对应坐标成比例，从而有这条直线的方程为： $\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$

参数方程为 ${\begin{matrix} x = x_{0} + m t \\ y = y_{0} + n t \\ z = z_{0} + p t \end{matrix}$

说明：在点向式方程中，某些分母为零时，其分子也理解为零。如当m=n=0，p≠0时直线方程为 ${\begin{matrix} x = x_{0} \\ y = y_{0} \\ z = z_{0} + p t \end{matrix}$

若两直线的方向向量分别为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，则它们的夹角为 $\arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

若直线的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面的法向量为 $\vec{b}$ ，则直线与平面的夹角为 $\arcsin \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

(平面束)