自然數

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自然数可以这样理解：在计量事物的件数或表示事物次序时所用的数。即用数码1，2，3，4……所表示的数。

自然数包括0吗？

一个物体也没有，当然可以用“0”来表示。在數學定義中，自然数既可以从“0”开始，也可以从“1”开始，这主要是基于人们的习惯来做出的选择。在现代数学中，人们更倾向于将“0”包含在自然数集合中。

自然数的集合表示

数学家一般用$\mathbb{N}$以代表包括0的自然数组成的集合。 但为了教学目的，也为了加以区分，用$\mathbb{N}$*用以代表不包括0的自然数组成的集合。 $\mathbb{N}$={0，1，2，…} $\mathbb{N}$*={1，2，3，…}

自然数的运算

一、运算形式

口算，又称心算，是指不借助工具直接通过思维求出结果的一种计算方法。——发展儿童思维的敏捷性

笔算：借助笔且运用列式的方法，按照一定的规则来求出结果的一种方法。——发展学生思维与运算的协调性

口算：基于意义的；竖式：基于规则的

估算：是一种无需获得精确结果的口算，是个体依据条件和有关知识对事物的数量或运算的结果做一种大致的判断。——发展儿童思维的反省性

还包括：

运算法则的理解：运算法则是关于运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。

运算性质的总结：运算性质反映运算的规律性，如加法交换律、乘法交换律；加法结合律、乘法结合律；乘法对加法、减法的分配律；以及积的变化规律、商不变的性质等。

运算方法的掌握：运算方法是指利用四则运算求某种量，或者两种量换算的具体方法。

二、作为“模型”的四则运算 自然数的运算包括：加法，减法，乘法，取商除法，和取余除法 加法可以作为合并、增加、移入等的模型；（静态、动态模型） 减法可以作为剩余、减少、比较等的模型；（动态、静态模型）

探索活動1

1. $0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$……非負整数。那麼，那些數是非正整数嗎？_________________________，0是整数嗎？____________________
2. 完成以下句子。
   1. $13$、$14$、$15$、 __是四個連續數。
   2. $-16$、$-15$、__是三個連續數。
   3. $x$、$x+1$、__、 __是四個連續數。
   4. __、$x$、__、 __是三個連續數。
3. 當$k$取不同的整數值時，分別計算$2k$和$2k+1$的值；問所得$2k$和$2k+1$的值，分別有何特徵？

__________________________________________________________

結論：若$k$為整數，則$k$、$k+1$（或$k-1$、$k$）為連續數，而$2k$和$2k+1$(或$2k-1$)分別為 偶數 和 奇數 。

一般而言，若$k$為整數，則$3k$、$4k$、$5k$依次稱為3的倍數、4的倍數、5的倍數，如此類推。

探索活動2

1. 試用計算機把下列各分數改寫成小數。

分數	小數
$\frac{3}{5}$	0.6
$\frac{4}{3}$	≒1.3
$\frac{2}{9}$	≒0.2
$\frac{7}{8}$	0.875
$\frac{25}{16}$	1.5625
$\frac{26}{11}$	≒2.36

1. 由問題1的結果，你可歸納出分數轉換成小數後有多少種形式？試描述它們的特徵。

__循環小數：指以規律性的重複的小數，有盡小數，指有結尾的小數____________________________________________________________

結論：所有分數都可轉換成 有盡小數 或 循環小數 。 有盡小數例子：$0.5$、$4.6$、$3.1416$
循環小數例子：$0.333333\dots$、$5.55555\dots$、$2.323232\dots$

• $\frac{3}{5}=0.6$
  

• $\frac{9}{8}$ , 假分數的話，可以先作$9-8=1$的運算，

剩下$\frac{1}{8}=0.125$，剛剛減了"一"次8，所以再加上1, 即得答案$\frac{9}{8}=1.125$

• $\frac{36}{11}$，36去給11減,先作$36-11-11-11=3$的運算, 11共減了36 "3"次,

剩下$\frac{3}{11}=0.272727\dots$,因11減了36 "3"次,所以加上3, 即得: $\frac{36}{11}=3.272727\dots$, 也可以寫作$\frac{36}{11}=3.\overline{27}$