訊號與系統/無失真傳輸的頻率響應

無失真傳輸的頻率響應

所謂無失真傳輸(distortionless transmission)是指輸入訊號經過LTI系統處理之後，輸出訊號波形必須與輸入訊號波形完全相同，但允許波形之大小不同以及兩訊號間存在固定的時間差 $t_{d}$ 。此種無失真傳輸系統的輸入/輸出關係以數學式描述成

       $y (t) = K_{x} (t - t_{d})$

其中 $t_{d}$ 是延遲(time delay) ，稱為增益常數(gain constant)。

....................圖....................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

LTI系統的無失真傳輸示意圖

$y (t) = K_{x} (t - t_{d})$ 兩邊做傅立葉轉換，可得

        $Y (f) = K e^{- j 2 π f t_{d}} X (f)$

無失真傳輸系統的頻率響應為

        $H (f) = \frac{Y (f)}{X (f)} = K e^{- j 2 π f t_{d}}$ 
       $∣ H (f) ∣ = K$ 
       $∠ H (f) = - 2 π f t_{d}$

若一LTI系統的強度響應 $∣ H (f) ∣$ 在限定之頻率範圍內不是固定值，即輸入訊號經過此系統傳輸(或處理)時各頻率成份的增益或衰減值並不相同，此種效應造成輸出訊號的失真稱為振幅失真(amplitude distortion)。

此外，若一系統的相位響應 $∠ H (f)$ 不是頻率的線性函數(此意味著輸入訊號經過此系統傳輸(或處理)時各頻率成份的延遲時間並不相同)，此種效應造成輸出訊號的波形失真稱為相位失真(phase distortion)。