訊號與系統/連續時間線性非時變系統

系統模型

● 分析系統的首要步驟為建立系統模型

● 系統模型：一個數學表示式或規則而可以有效的近似系統的動態行為。

● 系統模型中不同變數間的關係是必須依據一些已知的自然定律。例如：克希荷夫電壓、電流定律(KVL,KCL) 、歐姆定律等。

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範例3.1

如下圖RLC串聯電路，試求出輸入電壓$𝐟(t)$與輸出電流$𝐲(t)$之關係。

【解】   依KVL：

${𝐕}_L(t)+V_R(t)+V_C(t)=f(t)$

$\Rightarrow \frac{dy}{dt}+3y+2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}y(\tau )d\tau =f(t)$

將等號兩邊同時對時間微分

$\Rightarrow \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+3\frac{dy}{dt}+2y(t)=\frac{df}{dt}$

© B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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簡化表示法

定義：

   $\frac{dx}{dy}=Dy(t)$

   $\Rightarrow D^{2}y(t)+3Dy(t)+2y(t)=Df(t)\Rightarrow (D^2+3D+2)y(t)=Df(t)$

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連續時間系統之時域分析

● 連續時間系統之基本輸出/入模型可用微分方程式表示。

● 求解微分方程式必須事先知道系統的“初始條件”—此為由系統之儲能元件所建立。

● 本教材將限制在線性非時變(LTI, Linear Time Invariant)系統。

● 針對線性系統：

           全部響應(total response)  =  零輸入響應(zero-input response)
                                    + 零狀態響應(zero-state  response)

         零輸入響應：系統對於“初始條件”的響應。
          零狀態響應：系統對於“輸入訊號”的響應。

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微分方程的通式

令$𝐲(t)$為系統的輸出，$𝐟(t)$為系統的輸入。

$\frac{d^y}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\dots +a_1\frac{dy}{dt}+a_{0}y(t)$

$=b_m\frac{d^{m}f}{d{t}^m}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}f}{d{t}^{m-1}}+\dots +b_1\frac{df}{dt}+b_{0}f(t)$

$\Rightarrow (D^n+a_{n-1}+\dots +a_{1}D+a_0)y(t)$

$=(b_m{D}^m+b_{m-1}{D}^{m-1}+\dots +b_{1}D+b_0)f(t)$

$\Rightarrow Q(D)y(t)=P(D)f(t)$

其中

$Q(D)=D^n+a_{n-1}{D}^{n-1}+\dots +a_{1}D+a_0$

$P(D)=b_m{D}^m+b_{m-1}{D}^{m-1}+\dots +b_{1}D+b_0$