訊號與系統/連續時間LTI系統的頻率響應

連續時間LTI系統的頻率響應

一連續時間LTI系統的零狀態響應，可表示為輸入訊號與系統的單位脈衝響應的旋積，即

                            $𝒚(t)=x(t)*h(t)$

利用傅立葉轉換的旋積定理，我們可將上式系統輸出響應之時域表示轉換成頻域的表示式：

                            $𝒀(f)=X(f)H(f)$
 故  $H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)}$

其中函數H(f)稱為此系統的頻率響應(frequency response)或轉換函數(transfer function)。.....公式加圖 ©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

接下來我們依序以各種不同輸入訊號的情況來說明如何利用頻率響應計算此系統的輸出訊號：

(1)輸入訊號 $x(t)=\delta (t)$

(2)輸入訊號 $x(t)=$${𝒆}^{j2\pi f_{o}t}$

(3)輸入週期訊號

(4)輸入非週期訊號

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輸入訊號$x(t)=\delta (t)$

當系統的輸入訊號是$x(t)=\delta (t)$時，其傅立葉轉換為$X(f)=1$，故$Y(f)=H(f)$。 .........圖 ©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

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輸入訊號 $x(t)=$${𝒆}^{j2\pi f_{o}t}$

當系統的輸入是複指數訊號$x(t)=$${𝒆}^{j2\pi f_{o}t}$ 時，其傅立葉轉換為$X(f)=$$\delta (f-f_0)$

              $Y(f)=H(f)\delta (f-f_0)=H(f_0)\delta (f-f_0)$

計算$Y(f)$的傅立葉逆轉換可得到

                $y(t)=H(f_0){𝒆}^{j2\pi f_{o}t}$

複指數信號${𝒆}^{j2\pi f_{o}t}$是這個LTI系統的特徵函數(eigenfunction)，其對應的特徵 值(eigenvalue)是$H(f_0)$。

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輸入週期訊號

當系統的輸入是週期訊號時，將週期訊號表示成傅立葉級數

      $x(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n{𝒆}^{j2\pi n{f}_{0}t}$

利用線性特性，我們可得到輸出信號

      $y(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_{n}H(n{f}_0){𝒆}^{j2\pi n{f}_{0}t}$

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輸入非週期訊號

當系統的輸入是非週期訊號$x(t)$時，其傅立葉轉換為$X(f)$系統的輸出信號

     $y(t)={\mathrm{\Im }}^{-1}$ {$X(f)H(f)$}=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)H(f)e^{j2\pi ft}df$

系統的頻率響應可表示成

     $H(f)=\mid H(f)\mid e^{j\mathrm{\angle }H(f)}$
          
          其中$\mid H(f)\mid$稱為此系統的強度響應(magnitude response)，
           而$\mathrm{\angle }H(f)$稱為此系統的相位響應(phase response)。

分別將系統在頻域的輸入與輸出表示成

     $H(f)=\mid H(f)\mid e^{j\mathrm{\angle }H(f)}$和$Y(f)=\mid Y(f)\mid e^{j\mathrm{\angle }Y(f)}$
          其中：$\mid Y(f)\mid e^{j\mathrm{\angle }Y(f)}$=$\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid e^{j[\mathrm{\angle }X(f)+\mathrm{\angle }H(f)]}$
              $\mid Y(f)\mid =\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid$
              $\mathrm{\angle }Y(f)=\mathrm{\angle }X(f)+\mathrm{\angle }H(f)$

系統輸出的振幅頻譜$\mid Y(f)\mid$等於系統輸入的振幅頻譜$\mid X(f)\mid$乘上系統的強度響應$\mid H(f)\mid$。有時候，強度響應$\mid H(f)\mid$也稱為系統的增益(gain)。

輸入相位頻譜$\mathrm{\angle }X(f)$加上系統的相位響應$\mathrm{\angle }H(f)$可得系統輸出的相位頻譜$\mathrm{\angle }Y(f)$。

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範例6.1

假定一LTI系統的脈衝響應與輸入訊號為

     $x(t)=h(t)=\{\begin{array}{cc}1,& 0\le t\le 1\\ 0,& else\end{array}$

以頻域分析方式求其輸出訊號。

【解】

   (1)顯然$x(t)$和$h(t)$可表示成$rect(t-1/2)$
   $x(t)=h(t)$之傅立葉轉換為$X(f)=H(f)=sinc(f)e^{-j\pi f}$

  (2) 系統在頻域的輸出$Y(f)=X(f)H(f)=sin{c}^2(f)e^{-j2\pi f}$

  (3)$y(t)={\mathrm{\Im }}^{-1}$ {$Y(f)$}=$\mathrm{\Lambda }(t-1)$=$\{\begin{array}{cc}0,& t\le 0\\ t,& 1>t>0\\ -t+2,& 2>t\ge 1\\ 0,& t\ge 2\end{array}$

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範例6.2

一LIT系統的頻域響應為

     $H(f)=\mathrm{\Lambda }(\frac{f}{5})$

試求輸入訊號$x(t)=3cos(4\pi t)+4cos(6\pi t)$之輸出$y(t)$及其頻譜$Y(f)$ 【解】

   (1)$X(f)=\mathrm{\Im }[x(t)]$  
           $\mathit{=}1.5\delta (f-2)+1.5\delta (f+2)+2\delta (f-3)+2\delta (f+3)$
   
   (2)$H(f)=\mathrm{\Lambda }(\frac{f}{5})=\{\begin{array}{cc}1-\mid f\mid /5& \mid f\mid <5\\ 0& else\end{array}$

   (3)$𝒀(f)=H(f)X(f)$
           $\mathit{=}1.5H(2)\delta (f-2)+1.5H(-2)\delta (f+2)+2H(3)\delta (f-3)+2H(-3)\delta (f+3)$
           $\mathit{=}0.9\delta (f-2)+0.9\delta (f+2)+0.8\delta (f-3)+0.8\delta (f+3)$

   (4)$y(t)={\mathrm{\Im }}^{-1}[Y(f)]=0.9{\mathrm{\Im }}^{-1}[\delta (f-2)]+0.9{\mathrm{\Im }}^{-1}[\delta (f+2)]+0.8{\mathrm{\Im }}^{-1}[\delta (f-3)]+0.8{\mathrm{\Im }}^{-1}[\delta (f+3)]$
           $\mathit{=}0.9[e^{-j4\pi }+e^{j4\pi }]+0.8[e^{-j6\pi }+e^{j6\pi }]$
           $\mathit{=}1.8cos(4\pi t)+1.6cos(6\pi t)$

................................圖 ©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley & Sons, 1998.

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