高中数学/不等式与数列/一阶递推数列及通项公式的求解

阅读指南

本节介绍从一种叫做一阶递推关系式的简易递推关系求解出数列通项的方法。此类数列递推式的求解过程和转换方法除了应付学校考试，对于以后学习差分方程、数学建模、组合数学等课程也有帮助。

无应试需要的读者可以适当跳过本节内容。

基础知识

一阶递推关系式的概念

形如$a_{n+1}=f(a_n)$的表达式叫做一阶递推关系式（recurrence relation of first order）。一阶递推关系式是将$a_{n+1}$用含$a_n$的解析式表达出来。

形如$a_{n+k}=f(a_{n+k-1},a_{n+k-2},a_{n+k-3},...,,a_n)(k\ge 1,k\in \mathbb{N})$的表达式叫做k阶递推关系式（recurrence relation of order k）。一阶递推关系式是将$a_{n+1}$用含$a_{n+k-1},a_{n+k-2},a_{n+k-3},...,,a_n$解析式表达出来。

形如$a_{n+1}=\frac{a_n+c}{a_n+d}$的表达式叫做分式型一阶线性递推数列。

以递推关系表达的数列等式，也叫做差分方程（difference equation）。对于数列$\{a_n\}$，记$\mathrm{\Delta }{a}_n=a_{n+1}-a_n$为它的前向差分（forward difference），简称差分（difference），$\mathrm{\Delta }$叫做数列的差分算子（difference operator）；记$\mathrm{\nabla }{a}_n=a_n-a_{n-1}$为它的后向差分（backward difference），$\mathrm{\nabla }$叫做数列的后向差分算子（backward difference operator）。

对于涉及递推关系的问题，最常见的问题类型为已知数列中个别项的值（一般是最前几项），求数列特定项的值或数列的通项公式。这2类问题是本节的关注重点。还有一些问题涉及到估计通项或前n项和的大小。对于估计大小的问题会在后续的放缩法章节再集中讨论。

周期数列型问题

有的数列只需要通过简单地迭代计算，就可以发现其存在周期性，可以通过其前几项的值和周期大小，确定后续项的值。

相关例题1： 若在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=3,a_n+a_{n-1}=4(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$，求$a_{2017}$的值。

相关例题2： 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=3,a_{n+1}{a}_n+a_{n+1}-a_n+1=0(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$a_{2016}$的值。

相关例题3： 已知数列$\{a_n\}$中，有$a_n>0,a_1=1,a_{n+2}=\frac{1}{a_n+1},a_{100}=a_{96}$，求$a_{2018}+a_3$的值。

累加法与累乘法

累加法或累乘法可以看作直接递推法的另一种表达形式。

相关例题1： 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=1,a_{n+1}=a_n+2(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

相关例题2： 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

提示：这道题也可以使用本节介绍的等比数列转换法解答。

相关例题3： 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=2,a_{n+1}=k{a}_n(n\in {\mathbb{N}}^{+},k\ne 0)$，求$\{a_n\}$的通项公式。

相关例题4： 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=2,a_{n+1}=\frac{n}{n+1}{a}_n(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

相关例题5： 已知数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，且满足$a_{n+1}-a_n=(-\frac{1}{2}{)}^n(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$a_{2018}$的值。

相关例题6： 已知数列$\{a_n\}$满足$a_4=81,a_n=2a_{n-1}+2^n-1(n\in {\mathbb{N}}^{+},n\ge 2)$。
(1)求数列的前3项$a_1,a_2,a_3$。
(2)若数列$\{\frac{a_n+p}{2^n}\}$为等差数列，求实数p的值。
(3)求$\{a_n\}$的通项公式和前n项和。

相关例题7： 在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n(n+1)}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

相关例题8： 已知整数数列$\{a_n\}$满足$a_2=3,a_{n+1}-a_{n-1}<3^n+\frac{1}{2},a_{n+2}+a_n>3^{n+1}-\frac{1}{2}$，求$a_{2018}$的值。

等比数列转换法

我们可以换一种思路解决上面出现过的已知$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式的例题。

相关例题1： 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_{n+1}=3a_n+1(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式的例题。

这种方法并不限于解决这种形式的问题，不过它要求解题者对可能存在的等比数列构造形式具有一定的观察力，有时需要结合经验多次尝试。兔子数列也可以采用这种方法巧妙求解。

取对数法

相关例题1： 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=3,a_{n+1}=a_n^k(n\in {\mathbb{N}}^{+},k>1,k\in \mathbb{N})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

提示：由于对数运算可以将乘积关系转换为加减关系、将指数化为倍数，取对数法也可以将递推式$\frac{a_{n+1}}{a_n}=k(k>0)$转换为$\lg a_{n+1}-\lg a_n=\lg k(k>0)$形式，从而将可以累加的递推式变为可以累乘的递推式。

相关例题2： 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_{n+2}=a_{n+1}{a}_n(n\in {\mathbb{N}}^{+},k>1,k\in \mathbb{N})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

取倒数法

对于$a_n$和$a_{n+1}$都分别出现在2个分式的分母中的某些一阶递推数列，常见的方法是对等式两侧减去合适的数，然后同时取倒数后再构造等比数列。这种方法只能解决分母的形式是$a_n$或$a_{n+1}$的一次函数的情形，这种数列也叫做一阶分式线性递推数列。

相关例题： 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

要减去的数具体取什么值才合适有时比较难确定。这时如果考虑使用不动点法可能会比使用待定系数法更快地确定出这个数。

同除以某个代数式

相关例题1： 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_{n+1}=a_n+2^n(n\in {\mathbb{N}}^{+},k>1,k\in \mathbb{N})$，求$a_9$的值。

提示：这个题目也可以用累加法求解。

相关例题2： 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_2=\frac{1}{3},a_n(a_{n-1}+2a_{n+1})=3a_{n-1}{a}_{n+1}(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$，求$\{a_n\}$的通项公式。

相关例题3： 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=3,a_{n+1}=3a_n+2\times 3^n+1$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。

利用通项与前n项和的转换

有一类常见的递推式，同时混杂有数列的通项$a_n$和前n项和$S_n$的表达式，这时应该优先考虑先将其利用关系式$a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$转换为只包含通项的形式或只包含前n项的形式。

注意：由$S_n$求$a_n$时，$n=1$时的情形和$n>1$时的情形必须分开讨论。即当$n>1$时，才有$a_n=S_n-S_{n-1}$；而当$n=1$时，是直接可知$a_1=S_1$。

相关例题1： 已知数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n+1$，求$\{a_n\}$的通项公式。

相关例题2： 已知数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$，且$a_1=2,S_{n+1}=4a_n(n\in {\mathbb{N}}^{+},k>1,k\in \mathbb{N})$，求$a_{12}$的值。

相关例题3： 若$S_n$为数列$\{a_n\}$的前n项和，且$S_n=2a_n-2$，求$S_8$的值。

相关例题4： 已知数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$，且有$S_n=\frac{n+2}{3}{a}_n$，求$\frac{a_n}{a_{n-1}}$的最大值。

相关例题5： 已知数列$\{a_n\}$的首项$a_1=k$，其前n项和为$S_n$，且满足$S_n+S_{n-1}=4n^2(n\ge 2,n\in {\mathbb{N}}^{+})$。若对于任意的$n\in {\mathbb{N}}^{+}$，还有$a_n<a_{n+1}$恒成立，求k的取值范围。

相关例题6： 设数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$，数列$\{S_n\}$的前n项和为$T_n$。假设有$T_n=2S_n-n^2(n\in {\mathbb{N}}^{+})$成立。
(1) 求$a_1$的值。
(2) 求数列$\{a_n\}$的通项公式。

其它求解方法概述

• 需要观察出递推关系的问题

相关例题1： 已知数列$\{a_n\}$满足$\frac{\ln a_1}{3}\cdot \frac{\ln a_2}{6}\cdot \frac{\ln a_3}{9}\cdot ...\frac{\ln a_n}{3n}=\frac{3n}{2}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$a_{10}$的值。

• 三角换元法

相关例题2： 在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=-2,a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}(n\ge 1)$，求$a_{2012}$的值。

解答：
设$a_n=\tan b_n$，则$b_n=\arctan a_n$。那么：
$a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}\Rightarrow \tan b_{n+1}=\frac{1+tan{b}_n}{1-(tan{b}_n)\times 1}=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan b_n}{1-\tan b_{n}tan\frac{\pi }{4}}=\tan (b_n+\pi 4)$
即$\tan b_{n+1}=\tan (b_n+\frac{\pi }{4})=\tan (b_{n-1}+2\frac{\pi }{4})=\tan (b_{n-2}+3\frac{\pi }{4})=...=\tan (b_1+n\frac{\pi }{4})$。
即$\tan b_n=\tan (b_1+(n-1)\frac{\pi }{4})$。即$a_n=\tan (\arctan (a_1)+(n-1)\frac{\pi }{4})$。
即$a_{2012}=\tan (\arctan (-2)+(2012-1)\frac{\pi }{4})=\frac{\tan (\arctan (-2))+\tan ((2012-1)\frac{\pi }{4})}{1-\tan (\arctan (-2))\tan ((2012-1)\frac{\pi }{4})}=\frac{(-2)+(-1)}{1-(-2)\times (-1)}=\frac{-3}{1-2}=3$。

答案：3。

• 双曲换元法

• 某些可求通项解的二次一阶递推数列

此外，对于一些所谓的线性的递推关系式或可以转换为此类情形的关系式，还可以考虑特征方程法和矩阵法。了解这些方法还需要补充一些其它的预备知识，而且它们超出了一般学校的考试范围，我们留在专门的对应章节中再论述它们。

补充习题

• 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=2,2^{n+1}{a}_{n+1}=2^n{a}_n+1(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式。
• 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=2,a_{n+1}=a_n+2^n+n(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，求$\{a_n\}$的通项公式。
• 已知数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$，且满足$a_1=2,a_n+2S_n{S}_{n-1}=0(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$。(1)求证$\{S_n\}$是等差数列。(2)求$\{a_n\}$的通项公式。

参见

• 不动点法
• 常系数线性递推数列