高中数学/函数与三角/函数常见性质的综合问题

阅读指南

本节介绍二次函数的性质分析、恒成立问题、存在性问题等考试中常见的考点，以及考察函数的多种性质的综合问题。其中对方程或不等式的解存在性的解答思路也是后续学习内容二分法可行性的基础。

无应试需要的读者可以适当跳过本节内容。

基础知识

二次函数的局部单调性及含参问题

在涉及二次函数的考试题目中，比较麻烦的是包含未知参数并将变量的取值范围限定在指定区间内的问题，经常会涉及分类讨论或数形结合的方法。

相关例题1： 已知二次函数$f(x)=x^2-2x-4$在区间[-2, a]上的最小值为-5，最大值为4，求实数a的取值范围。

相关例题2： 已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1$，求$f(x^2+1)$的最小值。

相关例题3： 已知函数$f(x)$为二次函数，不等式$f(x)<0$的解集是(0, 5)，且$f(x)$在区间[-1, 4]上的最大值为12。
(1) 求$f(x)$的解析式。
(2) 设函数$f(x)$在[t, t+1]上的最小值为$g(t)$，求$g(t)$的表达式。

相关例题4： 已知关于x的方程$(m+1)x^2+2(2m+1)x+1-3m=0$的2个根为$x_1$、$x_2$，若$x_1<1<x_2<3$，求实数m的取值范围。

恒成立与存在性问题

恒成立问题一般都可以转化为最值问题。尤其是考试最常考的包含一个变量x和一个参数a的等式或不等式的恒成立问题，都可以通过将变量和参数分离到等式或不等式两端的方法，转换为2个函数$g(x)$和$h(x)$的最值比较问题。

存在性问题则一般需要利用函数的单调性，并通过数形结合的思想求解。通过保证单调性和检查区间端点的函数值，就可以确定存在性条件。

相关例题1： 若关于x的不等式$|x-4|+|x+3|<a$有实数解，求实数a的取值范围。

相关例题2： 若$\mathrm{\forall }x\in (0,\frac{1}{2}]$，都有不等式$-x+a+1\ge 0$成立，求a的最小值。

相关例题3： 已知函数$f(x)=-x^2+4x+m$，若$\mathrm{\exists }x\in [0,1],f(x)=0$，求m的取值范围。

相关例题4： 已知函数$f(x)=a{x}^2-4ax+b(a>0)$在区间[0, 1]上有最大值1和最小值-2。
(1) 求a和b的值。
(2) 若在区间[-1, 1]上，不等式$f(x)>-x+m$恒成立，求实数m的取值范围。

相关例题5： 已知函数$f(x)=\frac{x-1}{x+2},x\in [3,5]$。
(1) 判断并证明$f(x)$的单调性。
(2) 若不等式$f(x)>a$在[3, 5]上恒成立，求实数a的取值范围。
(3) 若不等式$f(x)>a$在[3, 5]上有解，求实数a的取值范围。

相关例题6： 已知函数$g(x)=a{x}^2-2ax+1+b(a>0)$在区间[2, 3]上有最小值1和最大值4。设$f(x)=\frac{g(x)}{x}$。
(1) 求a和b的值。
(2) 若不等式$f(x)-kx-4\le 0$在$x\in [-1,0)$时恒成立，求实数k的取值范围。

函数性质的综合问题

相关例题1： 已知函数$f(\sqrt{x}+2)=3x+\frac{1}{x}+2$，函数$g(x)=1-2x+\sqrt{x+2}$。
(1) 求$f(x)$的解析式，并写出其定义域。
(2) 求$g(x)$的值域。

相关例题2： 已知函数$f(x)$对任意的实数a和b都有$f(a+b)=f(a)+f(b)$，且当$x>0$时，有$f(x)>0$。
(1) 求证：$f(x)$在$ℝ$上是增函数。
(2) 求证：$f(x)$在$ℝ$上是奇函数。
(3) 若$f(1)=1$，解不等式$f(x^2)-f(x+2)>4$。

补充习题