高中数学/函数与三角/函数的单调性

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

本节介绍的是根据单调性的定义或复合函数的单调性规律来判断函数的单调性，这也是最根本的方法。在后续课程中还会学到，对于可以求导的函数，可以根据导函数的取值正负来快速判断函数的单调性。

在生产、生活和研究中，人们经常碰到的一个问题是求解一个变量的最佳取值，例如如何分配手中的资源可以使利润的取值最大化，或是使成本的取值最小化。如果碰到的是单调函数，就非常容易找出其最大值与最小值。在后续的凸优化课程中，还会学到一类凸函数。凸函数值得格外关注的原因也是因为易于求解最大值和最小值。我们总是倾向于尽可能地将复杂的函数关系转换成易于求解的形式，然后用我们对于简单情形的丰富经验击败它们，这是解决一切优化问题的总体思路。

基础知识

单调性的概念

如果在一个函数的定义域I中任取2个点$x_1<x_2$，都能证明关系式$f(x_1)<f(x_2)$成立，则这个函数就是在区间I上严格单调递增的（ strictly monotonically increasing），或者说是区间I上的严格增函数（strictly increasing function）。

如果在一个函数的定义域I中任取2个点$x_1<x_2$，都能证明关系式$f(x_1)>f(x_2)$成立，则这个函数就是在区间I上严格单调递减的（ strictly monotonically decreasing），或者说是区间I上的严格减函数（strictly decreasing function）。

严格单调递增函数与严格单调递减函数统称为严格单调函数（monotonic function或monotone function）。

单调性最明显的重要性在于容易找到单调函数的最大值与最小值。如果已知或者能判断出一个函数在某个区间上是单调函数，那么它在该区间上的最大值与最小值始终在其两侧的端点处取到。单调性还可以用于比较函数值大小和查找函数的零点（即后面会学到的二分法）。

在高中教材中规定的单调就等同于上面的严格单调。

注意：之所以在这里强调“严格”二字，是因为在许多高等数学教材中对单调递增函数的定义是“$x_1\le x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$”，对严格单调递增函数的定义才是$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$。为了保证数学学习的连续性以及避免可能产生的误解，特此加以强调。

证明函数单调性的基本方法主要有2种：

• 作差判断法，即在定义域内任取$x_1<x_2$，判断$f(x_1)-f(x_2)$的正负。
• 作商判断法，即在有$f(x)>0$恒成立的前提下，在定义域内任取$x_1<x_2$，判断$\frac{f(x_1)}{f(x_2)}$与1的大小关系。

相关例题1：若函数$f(x)$在[a, b]上是严格增函数，则对任意不相同的$x_1,x_2\in [a,b]$，下列结论正确的是(    )：

A.$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$；

B.$(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))>0$；

C.$f(a)<f(x_1)<f(x_2)<f(b)$；

D.$\frac{x_1-x_2}{f(x_1)-f(x_2)}>0$。

相关例题2：下列说法正确的是(    )。

A.定义在(a, b)上的函数$f(x)$，若存在$x_1,x_2\in (a,b)$，且$x_1<x_2$，满足$f(x_1)<f(x_2)$，则$f(x)$在(a, b)上单调递增。

B.定义在(a, b)上的函数$f(x)$，若有无穷多对$x_1,x_2\in (a,b)$，使得$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则$f(x)$在(a, b)上单调递增。

C.若$f(x)$在区间A上单调递增，在区间B上也单调递增，那么$f(x)$在$A\cup B$上也一定单调递增。

D.若$f(x)$在区间I上单调递增，且$f(x_1)<f(x_2)(x_1,x_2\in I)$，则$x_1<x_2$。

相关例题3：判断并证明函数$f(x)=x^3$的单调性。

相关例题4：判断并证明函数$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$的单调性。

相关例题5：判断并证明函数$f(x)=x^{\frac{1}{3}}$的单调性。

相关例题6：判断并证明函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$在$(1,+\mathrm{\infty })$上的单调性。

相关例题7：已知不等式$x^2-5ax+b>0$的解集为$\{x|x>4\vee x<1\}$。

(1) 求实数a和b的值。

(2) 若$0<x<1,f(x)=\frac{a}{x}+\frac{b}{1-x}$，求函数$f(x)$的最小值。

函数分段单调的基本问题

有时一个函数可能在不同的子区域中具有不同的单调性，这时需要根据不同的区间范围单独讨论单调性。例如包含绝对值的函数在讨论单调性时，一般需要先分不同情况去除绝对值，此时就可能会得到这种分段单调的函数。

即使函数在定义域内的每一个子集合上具有相同的单调性，也不能保证函数就一定在整个定义域上也单调。例如$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(-\mathrm{\infty },0)$上是单调递减的，在区间$(0,+\mathrm{\infty })$上也是单调递减的，但是由于显然的事实$f(-1)<f(1)$，导致它在$(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$上总体来看并没有一致的单调性。

注意：若一个函数$f(x)$在2个不相交的闭区间上都有定义，如果希望函数在这2个区间的并集上仍然保持相同的单调性，除了分别检查$f(x)$在2个子区间上的单调性是否一致，还必须检查函数在2个区间的端点上的取值是否也有同样的单调关系。

相关例题1：判断函数$y=|x+2|$在区间[-3, 0]上的单调性。

相关例题2：求函数$f(x)=|x^2-6x+8|$的单调递增区间。

相关例题3：已知$f(x)=\{\begin{array}{c}(3a-1)x+4a,x<1\\ -x+1,x\ge 1\end{array}$，是定义在$ℝ$上的减函数，求a的取值范围。

相关例题4：设函数$f(x)=\{\begin{array}{c}|x^2-x-2|,x\ge a\\ ax-6,x<a\end{array}$，是定义在$ℝ$上的增函数，求实数a的取值范围。

相关例题5：设函数$g(x)=x^3-2(x\in ℝ)$，$f(x)=\{\begin{array}{c}g(x)+x+4,x<g(x)\\ g(x)-x,x\ge g(x)\end{array}$，求$f(x)$的值域。

相关例题6：证明：若函数$f(x)$在2个部分相交的区间(a, c)和(b, d)上分别都是单调递增的（保证$a<b<c<d$），则$f(x)$在(a, d)上也是单调递增的。

相关例题7：判断下列说法的正误：
(1) 若一个函数在2个相交的集合A、B上分别都是单调递增的，则此函数在$A\cup B$上也一定是单调递增的。(    )
(2) 若一个函数在2个不相交的集合A、B上分别都是单调递增的，则此函数在$A\cup B$上也一定是单调递增的。(    )
(3) 若区间I可以分为A、B这2个不相交的集合，且某个函数在A、B上分别都是单调递增的，则此函数一定在I的某个开的子区间上会是单调递增的。(    )
(4) 存在一个函数，它不是常函数，但是它在其定义域的任何子区间内都不是单调的。(    )

复合函数的单调性

一般来说，增函数是保持单调性的映射，减函数是颠倒单调性的映射。

当参与复合的任何一个函数在其定义域内是分段单调函数时，就需要很小心地分类讨论。

相关例题1：判断函数$f(x)=x^3+2x+1$的单调性。

相关例题2：判断函数$f(x)=x^3-\frac{1}{x^3}$的单调性。

相关例题3：判断函数$f(x)=2^{x^3}(x^5+5x)(x>0)$的单调性。

相关例题4：求函数$f(x)=\frac{1}{x^2+2}$的值域。

相关例题5：求函数$y=\sqrt{x^2+3x}$的单调递减区间。

相关例题6：求函数$f(x)=2-\sqrt{-x^2+4x}$的值域。

相关例题7：已知函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+3x}}$，求$f(2-x)$的单调递增区间。

常用结论与常见模型

含参函数的单调性讨论

相关例题1：若$f(x)=\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}(a\ne 1)$在区间(0, 1]上是减函数，求实数a的取值范围。

相关例题2：已知$f(x)=\frac{x}{x-a}(x\ne a)$。
(1)若$a=-2$，求证$f(x)$在$(-\mathrm{\infty },-2)$上单调递增。
(2)若$a>0$，且$f(x)$在$(1,+\mathrm{\infty })$上单调递减，求实数a的取值范围。

利用单调性解不等式

相关例题：设函数$f(x)=\{\begin{array}{c}2x^2,x\ge 0\\ -2x^2,x<0\end{array}$，求不等式$f(3-x)\ge 3f(\frac{\sqrt{3}}{3}x)$的解集。

补充习题