高中数学/组合计数/排列

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基础知识

排列的概念与公式

从n个不同的元素中取出m个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement）。

将n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列或置换（permutation）。

从n个不同元素中出去m个元素的所有排列的数目，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作${\mathrm{A}}_n^m$。

提示：中国大陆的高中教科书曾取“permutation”一词的首字母，即用${\mathrm{P}}_n^m$表示排列数。

排列数有下列计算公式：

${\mathrm{A}}_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)$

正整数从1到n的逐个连乘积，叫做n的阶乘（factorial），记作n!。此外补充规定0! = 1。

利用阶乘符号，可以得到：

• ${\mathrm{A}}_n^n=n!$
• ${\mathrm{A}}_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

提示：为了使${\mathrm{A}}_n^m=n!$在m = n时也成立，所以我们才规定了0! = 1。

补充习题