测度论初步

本书的目的是介绍初步的测度论知识，为实变函数、公理概率论等其它数学分支的学习做准备。

本书对读者的设定为：假定读者为数学系本科生，能够接受比较抽象的数学语言，了解微积分的基本思想，但在知识上不要求读者系统的学习过数学分析或实分析。

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前言

测度是点集上的实函数，它是长度、面积、体积等度量的推广，和古典的概念相比，它可以使我们在更一般的点集上讨论诸如长度、面积、体积这样的概念，例如[0,1]上所有有理数构成的集合的长度。

几个出于直觉的要求是：1)空集的测度是0，2)测度是正定的，3）测度可以相加减。第3条需要做一点说明，比较直观的要求是：若$\mu$是测度则$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$。这自然对$\mu$的定义域提出了要求，即对于交、并、差封闭。更进一步的，我们希望使用极限等工具讨论比较复杂的点集，因而要求得比上面更高一点，即$\mu$的定义域对于集合的极限运算也封闭，这样它就构成一个 σ-环，是我们第一章讨论的内容。有了这个基础之后，我们再讨论测度的正式定义即基本性质。接下来两章讨论怎样定义一个测度，最后作为一个特例，讨论勒贝格测度。

环、 σ-环

设X是一个集合，那么它的所有子集构成的集合称为X的幂集，记作$2^X$，为了强调它以集合为元素，我们把$2^X$及其真子集都称为集类，相应的X称为基本空间。

（可以验证，如果以对称差为加法，以集合的交为乘法，上述定义符合代数中不要求单位元的环的公理。）由上述定义显然有 Template:测度论初步-定理

如前所述，我们还希望引入集合的极限运算，以便将来讨论极限下的测度，为此定义σ-环如下

显然有

生成环和生成σ-环

注意到环（σ-环）的任意交仍是环（σ-环），可以定义任意集类的生成环（σ-环）。

集类E生成的环和σ-环分别记作R(E)和S(E)，不难证明：S(R(E))=S(E)。

如果定义$R_0=E$, $R_{n+1}=S_{n+1}\cup T_{n+1}$，其中$S_{n+1}=\{A\cup B|A,B\in R_n\}$，$T_{n+1}=\{A-B|A,B\in R_n\}$，则有

生成 σ-环的构造可以用类似的思想得到，不过需要超限数，暂不讨论。