國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數

Template:Header2 以下是維基百科上對於北極的氣候介紹： Template:Quote 在這個文章出現了相當多以前沒看過的數字，如 $- 43$ 、 $- 45$ 、 $- 26$ 、 $- 12.3$ 、……等等，其實這些數字代表比0小多少的意思。在底下我們將介紹這樣的數字。

認識負數

生活上有許多相對的量。如收入與支出、賺錢與賠錢、高於與低於、東方與西方、贏與輸……等等。在數學上，我們可以用符號「 $+$ 」與「 $-$ 」來代表這些代表「相反」或「相對」的量，如今天早上媽媽給Template:Pn $100$ 元當作零用錢，Template:Pn的錢增加了 $100$ 元，可以紀錄為 $+ 100$ 元；而Template:Pn花了 $50$ 元買早餐，所以Template:Pn的錢減少了 $50$ 元，可以紀錄為 $- 50$ 元。
在上數學課的時候，Template:Pn舉手回答老師的問題，老師以加學期總成績 $3$ 分作為獎勵，老師可以在紀錄表上用 $+ 3$ 來記錄；Template:Pn在上課玩手機，老師以扣學期總成績 $5$ 分與沒收手機作為懲罰，老師可以在紀錄表上用 $- 5$ 來記錄。
冬天的氣溫在緯度比較高的地方常常會出現低於攝氏 $0$ 度的低溫，如今天新聞提到Template:Pn的城市[[w:哈爾濱|Template:Pn]]的氣溫為 $- 25$ ℃，這表示Template:Pn今天的氣溫比 $0$ ℃還要低 $25$ ℃；在前言提到北極的冬天平均氣溫約在 $- 34$ ℃左右，這就表示北極的冬天平均氣溫大約比 $0$ ℃還要低 $34$ ℃。 Template:ExampleRobox以海平面為基準，高於海平面 $100$ 公尺我們記作 $+ 100$ 公尺，則：
$(1)$ 玉山的最高峰高於海平面 $3952.43$ 公尺，我們記作為何？
$(2)$ 馬里亞納海溝最低點低於海平面 $11034$ 公尺，我們記作為何？ Template:Robox/Close Template:Robox因為高於海平面 $100$ 公尺我們記作 $+ 100$ ，
所以高於海平面為正，低於海平面為負。
$(1)$ 因為高於海平面 $3952.43$ 公尺，所以記作 $+ 3952.43$ 公尺。
$(2)$ 因為低於海平面 $11034$ 公尺，所以記作 $- 11034$ 公尺。 Template:Robox/Close

習題

習題 $1 .$ 東方與西方是相對的量。若Template:Pn往東方走 $100$ 公尺，我們記作 $+ 100$ 公尺，則：
$(1)$ Template:Pn往西方走 $70$ 公尺，我們記作什麼？^{[解答 1]}
$(2)$ Template:Pn走了 $- 120$ 公尺，這代表Template:Pn往什麼方向走了幾公尺？^{[解答 2]}
習題 $2 .$ Template:Pn的身高為 $163$ 公分。以Template:Pn的身高為基準，Template:Pn的身高比Template:Pn高 $3$ 公分，我們記作 $+ 3$ 公分，則：
$(1)$ Template:Pn比Template:Pn矮 $5$ 公分，我們記作什麼？^{[解答 3]}
$(2)$ Template:Pn的身高為 $168$ 公分，我們記作什麼？^{[解答 4]}

性質符號與運算符號

若「 $+$ 」、「 $-$ 」是用來表示數字的正負性，則我們稱這兩個符號為性質符號。如在例題 $1$ 的 $+ 3952.43$ 的「 $+$ 」、 $- 11034$ 的「 $-$ 」；
若「 $+$ 」、「 $-$ 」是用來表示算式的加減法，則我們稱這兩個符號為運算符號。如 $3 + 5 = 8$ 的「 $+$ 」、 $7 - 2 = 5$ 的「 $-$ 」。

比較項目	性質符號	運算符號
說明	數字的正負性	算式的加減法
舉例	$- 3952.43$ 、 $- 11034$	$3 + 5 = 8$ 、 $7 - 2 = 5$

性質符號為「 $+$ 」的數我們稱作正數；性質符號為「 $-$ 」的數我們稱作負數，這兩種數合稱為有號數；而「 $0$ 」沒有任何性質符號，我們稱為中性數^{[註 1]}^{[註 2]}。
另外，所有的正數都大於 $0$ ；所有的負數都小於 $0$ 。
在正數當中，像 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ……這樣的數我們稱為正整數；在負數當中，像 $- 1$ 、 $- 2$ 、 $- 3$ 、 $- 4$ ……這樣的數我們稱為負整數。而正整數、負整數與 $0$ 合稱為整數。

同號數與異號數

兩個數如果同時為正數或同時為負數(性質符號相同)，則我們稱這兩個數為同號數。如 $11$ 與 $\frac{3}{5}$ ；
兩個數如果一個是正數且一個是負數(性質符號相異)，則我們稱這兩個數為異號數。如 $4$ 與 $- 1.9$ 。

習題

習題 $3 .$ 以下各組數是同號數還是異號數？在表格正確的空格中打勾。^{[解答 5]}

題號	題目	同號數	異號數
(1)	$- 5$ 、 $\frac{1}{5}$
(2)	$- 1.2$ 、 $- 2 \frac{7}{9}$
(3)	$1 \frac{10}{11}$ 、 $10 \frac{1}{11}$

數線

如下圖 $1$ ，這是一支攝氏溫度計。將這支溫度計傾倒如圖 $2$ ，我們可以將上頭的刻度畫在一條線上(如圖 $3$ )。

圖 $1$ 溫度計	圖 $2$ 傾倒的溫度計	圖 $3$ 將圖 $2$ 的刻度畫在一條線上

像圖 $3$ 這樣的圖形我們就稱為數線。

數線具有三大要素：^{[註 3]}

數線：數線上代表 $0$ 的位置，時常使用英文字母 $O$ 表示。
正向：數線上數字愈來愈大的方向，一般來說會在數線的右方。^{[註 4]}
- 正數都在原點 $O$ 的右邊，負數都在原點 $O$ 的左邊。
- 在數線上，愈右邊的數字愈大；愈左邊的數字愈小。
單位長：數線上每個格子代表的長度。例如在圖3中，每格單位長為10單位。
- 單位長的長度沒有限制。你可以每格為 $1$ 公分，也可以每格 $3$ 公分，甚至可以每格 $0.7$ 公分。
- 單位長代表的長度沒有限制。你可以每 $1$ 格代表 $1$ 單位，也可以每 $1$ 格代表 $3$ 單位，甚至可以每 $1$ 格代表 $0.7$ 單位。

數線上的點

數線上的每一個點都代表一個數，若數線上的點^{[註 5]} $A$ 所代表的數字為 $a$ ^{[註 6]}，則 $A$ 點坐標為 $a$ ，記作 $A (a)$ 。如下圖 $4$ ， $A$ 點坐標為 $5$ ，記作 $A (5)$ ； $B$ 點坐標為 $- 3$ ，記作 $B (- 3)$ 。

圖

4

數線上的分數點

數線上也可以表示代表分數的點。如在下圖 $5$ 中，

$C$ 點介於 $3$ 與 $4$ 之間 $5$ 等分中從左而右數來^{[註 7]}第 $2$ 格線上，所以 $C$ 點代表 $3 \frac{2}{5}$ ，可以記作 $C (3 \frac{2}{5})$ 。
$D$ 點介於 $- 1$ 與 $- 2$ 之間 $3$ 等分中從右而左數來^{[註 8]}第 $2$ 格線上，所以 $D$ 點代表 $- 1 \frac{2}{3}$ ，可以記作 $D (- 1 \frac{2}{3})$ 。

圖

5

數線上的小數點

數線上也可以表示代表小數的點。如在下圖 $6$ 中，

$E$ 點介於 $1$ 與 $2$ 之間 $10$ 等分中從左而右數來第 $4$ 格線上，所以 $E$ 代表 $1.4$ ，可以記作 $E (1.4)$ 。
$F$ 點介於 $- 1$ 與 $- 2$ 之間 $10$ 等分中從右而左數來第 $7$ 格線上，所以 $F$ 點代表 $- 1.7$ ，可以記作 $F (- 1.7)$ 。

圖

6

標示數線上的點

整數點：從原點0出發，
- 畫正整數就從左往右數相同數字的格子數。
  - 如圖 $7$ ，要在數線上畫出 $3$ ，從原點 $0$ 出發從左而右數 $3$ 個格子，到達 $A$ 點， $A$ 點即代表 $3$ 的點。
- 畫負整數就從右往左數相同數字的格子數。如圖7中代表−3的點為B點。
  - 如圖 $7$ ，要在數線上畫出 $- 3$ ，從原點 $0$ 出發從右而左數 $3$ 個格子，到達 $B$ 點， $B$ 點即代表 $- 3$ 的點。
  - 圖 $7$
分數點：設分數為abc，其中bc為最簡分數，
- 畫正分數：在a與a+1之間分成c格，從左而右數第b個格線。
  - 如圖 $8$ ，要在數線上畫出 $2 \frac{1}{3}$ ，先在 $2$ 與 $3$ 之間分成 $3$ 格，從左而右數來第 $1$ 個格線就是 $2 \frac{1}{3}$ 。(圖 $8$ 中的 $C$ 點)
- 畫負分數：在a與a左邊一格之間分成c格，從右而左數第b個格線。
  - 如圖 $8$ ，要在數線上畫出 $- 2 \frac{1}{3}$ ，先在 $- 2$ 與 $- 3$ 之間分成 $3$ 格，從右而左數來第 $1$ 個格線就是 $- 2 \frac{1}{3}$ 。(圖 $8$ 中的 $D$ 點)
  - 圖 $8$
小數點：將小數化為最簡分數，再利用畫分數的方法畫出。
- 畫正小數：如圖 $9$ ，要在數線上畫出 $2.3$ ，先將 $2.3$ 化成分數 $2 \frac{3}{10}$ ，再將 $2$ 與 $3$ 之間分成 $10$ 格，從左而右數來第 $3$ 個格線就是 $2 \frac{3}{10}$ ，也就是 $2.3$ 。(圖 $9$ 中的 $E$ 點)
- 畫負小數：如圖9，要在數線上畫出−2.3，先將−2.3化成分數−2310，再將−2與−3之間分成10格，從右而左數來第3個格線就是−2310，也就是−2.3。(圖9中的F點)
  - 圖 $9$

比大小

在數線上，

愈往數線右方的數愈大，愈往數線左方的數愈小。
負數 $< 0 <$ 正數。

Template:ExampleRobox比較 $- 5$ 與 $- 7$ 的大小關係。 Template:Robox/Close Template:Robox 如圖 $10$ ，在數線上 $- 5$ 比 $- 7$ 右邊，所以 $- 5 > - 7$ 。

Template:Robox/Close

習題

習題 $4 .$ 比較以下各組數的大小，在表格填入 $>$ 、 $<$ 或 $=$ 。^{[解答 6]}

題號	數字 $1$	數字 $2$
$(1)$	$- 13$	$- 15$
$(2)$	$- 2 \frac{7}{19}$	$1 \frac{7}{29}$
$(3)$	$- 0.93$	$- 1.04$

三一律

設 $a$ 、 $b$ 為任意兩個數，則 $a > b$ 、 $a < b$ 與 $a = b$ 三個之中必有一個，而且只有一個會成立。

遞移律

設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為任意三個數，而且若 $a > b$ 且 $b > c$ ，則 $a > c$ 。
同樣的，若 $a < b$ 且 $b < c$ ，則 $a < c$ ；若 $a = b$ 且 $b = c$ ，則 $a = c$ 。 Template:ExampleRobox比較 $5$ 、 $- 6$ 、 $3$ 與 $- 2$ 的大小關係。 Template:Robox/Close Template:Robox因為 $5$ 和 $3$ 為正數， $- 6$ 和 $- 2$ 為負數，所以 $5$ 與 $3$ 同時比 $- 6$ 與 $- 2$ 大，
又因為 $5 > 3 > 0$ ， $0 > - 2 > - 6$ ，所以 $5 > 3 > - 2 > - 6$ 。 Template:Robox/Close

相反數

參見：相反數

某國中舉辦班際籃球賽，七年一班與七年二班對戰，最後的結果為七年一班贏七年二班 $5$ 分。若我們將贏球記作正分，輸球記作負分，則對於七年一班來說，他們班與七年二班對戰的結果我們可以記作「 $+ 5$ 分」，至於對於七年二班來說，他們與七年一班對戰的結果我們可以記作「 $- 5$ 分」。
氣溫高於 $0$ ℃ $14$ 度，我們記作「 $+ 14$ ℃」；低於 $0$ ℃ $14$ 度，我們記作「 $- 14$ ℃」。

我們常常在生活上看到這樣的例子，雖然兩者的數據是相同的，但是因為性質符號不同的關係所以兩者並不相同，這樣的兩個數我們互稱為「相反數」。如 $5$ 的相反數為 $- 5$ ， $- 14$ 的相反數為 $14$ 。
特別的，我們定義 $0$ 的相反數為 $0$ 。

習題

習題 $5 .$ 以下各數的相反數為何？^{[解答 7]}

題號	題目	相反數
$(1)$	$0$
$(2)$	$12$
$(3)$	$2 \frac{3}{8}$
$(4)$	$- 0.97$

問題與討論

$7$ 的相反數和 $11$ 的相反數何者比較大？^{[問題 1]}
$- 7$ 的相反數和 $- 11$ 的相反數何者比較大？^{[問題 2]}
若 $a$ 、 $b$ 都是正數而且 $a > b$ ，則 $a$ 的相反數與 $b$ 的相反數何者比較大？^{[問題 3]}
若 $a$ 、 $b$ 都是負數而且 $a > b$ ，則 $a$ 的相反數與 $b$ 的相反數何者比較大？^{[問題 4]}

相反數的記號

若 $a$ 為一個數，則 $a$ 的相反數我們記作 $- a$ 。
如 $5$ 的相反數我們記作 $- 5$ ， $- 14$ 的相反數我們記作 $- (- 14) = 14$ 。

問題與討論

若 $a$ 為一個不為 $0$ 的數，則 $- a$ 是正數還是負數？^{[問題 5]}

絕對值

參見：絕對值
在剛剛的例子中，

七年一班贏七年二班 $5$ 分。
溫度與 $0$ ℃相差 $14$ ℃。

我們只是想要表達一個數與基準量的差異，可以用什麼符號表示呢？
答案是絕對值。
一個數的絕對值指的是這個數在數線上表示的點與原點的距離。如圖 $11$ 所示，數線上表示 $3$ 的點與原點相距 $3$ 單位長，我們就說 $3$ 的絕對值為 $3$ ；數線上表示 $- 3$ 的點與原點相距 $3$ 單位長，我們就說 $- 3$ 的絕對值為 $3$ 。

圖

11

3

與

- 3

與原點的距離都是

3

，所以絕對值都是

3

。

絕對值的符號

設 $a$ 是一個數，則 $a$ 的絕對值我們記作 $| a |$ 。如 $3$ 的絕對值為 $3$ ，我們記作 $| 3 | = 3$ ； $- 3$ 的絕對值為 $3$ ，我們記作 $| - 3 | = 3$ 。
特別的，我們定義 $| 0 | = 0$ 。

習題

習題 $6 .$ 寫出以下各數的值。^{[解答 8]}

題號	題目	答案
$(1)$	$\| - 12 \|$
$(2)$	$\| \frac{11}{5} \|$
$(3)$	$\| - 7.345 \|$

問題與討論

若 $a$ 是非 $0$ 的數，則 $| a |$ 是正數還是負數？^{[問題 6]}
若 $a$ 、 $b$ 是兩個數而且 $a > b$ ，則 $| a |$ 和 $| b |$ 何者比較大？^{[問題 7]}
若 $a$ 、 $b$ 都是正數而且 $a > b$ ，則 $| a |$ 和 $| b |$ 何者比較大？^{[問題 8]}
若 $a$ 、 $b$ 都是負數而且 $a > b$ ，則 $| a |$ 和 $| b |$ 何者比較大？^{[問題 9]}

絕對值與相反數的關係

兩個相異的數 $a$ 、 $b$ 互為相反數，則 $| a | = | b |$ 。
兩個相異的數 $a$ 、 $b$ 滿足 $| a | = | b |$ ，則 $a$ 的相反數是 $b$ ， $b$ 的相反數是 $a$ 。
正數的絕對值等於自己本身。即若 $a$ 是正數，則 $| a | = a$ 。
負數的絕對值等於負數的相反數。即若 $a$ 是負數，則 $| a | = - a$ 。
$0$ 的絕對值等於 $0$ 本身，也等於 $0$ 的相反數。
若 $| a | = 0$ ，則 $a = 0$ 。
若 $| a | + | b | = 0$ ，則 $a = b = 0$ 。

課後總習題

基礎題

賺錢與虧錢是相對的。Template:Pn經營一家小吃攤，上個月虧本 $1500$ 元，Template:Pn記作 $- 1500$ 元，那這個月賺 $3500$ 元，Template:Pn應該記作幾元？
在數線上想要標示 $- \frac{4}{9}$ ，至少要在數線的 $- 1$ 與 $0$ 之間分割成幾格？
比較 $6$ 、 $- 2 \frac{3}{5}$ 與 $- 1.74$ 的大小。
寫出以下各數的相反數：
- $(1) - 17$
- $(2) 3 \frac{2}{7}$
寫出以下各數的絕對值：
- $(1) | 23 |$
- $(2) | - 3 \frac{5}{6} |$
比較 $| - 6 |$ 、 $- | 2 |$ 與 $- 5$ 的大小。
畫出一條數線，並且標示出 $A (- 2)$ 、 $B (1.4)$ 與 $C (- 3 \frac{1}{2})$ 三個點。

進階題

以中午 $12$ 時為基準，下午 $3$ 時記作 $+ 6$ 時，那麼上午 $8$ 時要記作幾時？
在數線上想要標示 $- 0.75$ ，至少要在數線的 $- 1$ 與 $0$ 之間分割成幾格？
若甲數為整數而且甲數的絕對值小於 $15$ ，則滿足條件的甲數有幾個？
$- (- (- 9)) =$ ？
若 $a = | - 6 |$ ，則 $a$ 的相反數是多少？
已知 $a$ 是整數而且 $| - 2 \frac{2}{3} | < | a | < | 5 \frac{5}{8} |$ ，則這樣的 $a$ 總共有幾個？

註解

↑ 也稱作「調和數」。
↑ $0$ 既不是正數也不是負數。
↑ 數線三大要素缺一不可。
↑ 如果本書沒有特別說明，數線的正向都在右邊。
↑ 數學上，「點」只代表位置，本身不具有任何的大小。
↑ $a$ 代表隨意的數字，它可以是正數(如 $\frac{355}{113}$ )，也可以是負數(如 $- 1.23456$ )，更可以是 $0$ ；它可以是整數(如 $5$ )，也可以是分數(如 $\frac{1}{13}$ )，更可以是小數(如 $0.777$ )。
↑ 數線上代表正數的點是從左而右數，只要看 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、……的順序方向你就知道為什麼了。
↑ 數線上代表負數的點是從右而左數，只要看 $- 1$ 、 $- 2$ 、 $- 3$ 、……的順序方向你就知道為什麼了。

習題解答

↑ 習題 $1 . (1) - 70$ 公尺
↑ 習題 $1 . (2)$ 往西方走 $120$ 公尺
↑ 習題 $2 . (1) - 5$ 公分
↑ 習題 $2 . (2) + 5$ 公分
↑ 習題 $3 .$

題號題目同號數異號數

(1) $- 5$ 、 $\frac{1}{5}$ ✔

(2) $- 1.2$ 、 $- 2 \frac{7}{9}$ ✔

(3) $1 \frac{10}{11}$ 、 $10 \frac{1}{11}$ ✔
↑ 習題 $4 .$

題號數字 $1$ 答案數字 $2$

$(1)$ $- 13$ $>$ $- 15$

$(2)$ $- 2 \frac{7}{19}$ $<$ $1 \frac{7}{29}$

$(3)$ $- 0.93$ $>$ $- 1.04$
↑ 習題 $5 .$

題號題目相反數

$(1)$ $0$ $0$

$(2)$ $12$ $- 12$

$(3)$ $2 \frac{3}{8}$ $- 2 \frac{3}{8}$

$(4)$ $- 0.97$ $0.97$
↑ 習題 $6 .$

題號題目答案

$(1)$ $| - 12 |$ $12$

$(2)$ $| \frac{11}{5} |$ $\frac{11}{5}$

$(3)$ $| - 7.345 |$ $7.345$

問題與討論解答

↑ $7$ 的相反數。
↑ $- 11$ 的相反數。
↑ $b$ 的相反數。
↑ $b$ 的相反數。
↑ 可能是正數也可能是負數。
↑ 正數。
↑ 不一定。
↑ $| a |$ 。
↑ $| b |$ 。

[5] 也稱作「調和數」。

[6] $0$ 既不是正數也不是負數。

[8] 數線三大要素缺一不可。

[9] 如果本書沒有特別說明，數線的正向都在右邊。

[10] 數學上，「點」只代表位置，本身不具有任何的大小。

[11] $a$ 代表隨意的數字，它可以是正數(如 $\frac{355}{113}$ )，也可以是負數(如 $- 1.23456$ )，更可以是 $0$ ；它可以是整數(如 $5$ )，也可以是分數(如 $\frac{1}{13}$ )，更可以是小數(如 $0.777$ )。

[12] 數線上代表正數的點是從左而右數，只要看 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、……的順序方向你就知道為什麼了。

[13] 數線上代表負數的點是從右而左數，只要看 $- 1$ 、 $- 2$ 、 $- 3$ 、……的順序方向你就知道為什麼了。

[1] 習題 $1 . (1) - 70$ 公尺

[2] 習題 $1 . (2)$ 往西方走 $120$ 公尺

[3] 習題 $2 . (1) - 5$ 公分

[4] 習題 $2 . (2) + 5$ 公分

[7] 習題 $3 .$

題號題目同號數異號數

(1) $- 5$ 、 $\frac{1}{5}$ ✔

(2) $- 1.2$ 、 $- 2 \frac{7}{9}$ ✔

(3) $1 \frac{10}{11}$ 、 $10 \frac{1}{11}$ ✔

[14] 習題 $4 .$

題號數字 $1$ 答案數字 $2$

$(1)$ $- 13$ $>$ $- 15$

$(2)$ $- 2 \frac{7}{19}$ $<$ $1 \frac{7}{29}$

$(3)$ $- 0.93$ $>$ $- 1.04$

[15] 習題 $5 .$

題號題目相反數

$(1)$ $0$ $0$

$(2)$ $12$ $- 12$

$(3)$ $2 \frac{3}{8}$ $- 2 \frac{3}{8}$

$(4)$ $- 0.97$ $0.97$

[21] 習題 $6 .$

題號題目答案

$(1)$ $| - 12 |$ $12$

$(2)$ $| \frac{11}{5} |$ $\frac{11}{5}$

$(3)$ $| - 7.345 |$ $7.345$

[16] $7$ 的相反數。

[17] $- 11$ 的相反數。

[18] $b$ 的相反數。

[19] $b$ 的相反數。

[20] 可能是正數也可能是負數。

[22] 正數。

[23] 不一定。

[24] $| a |$ 。

[25] $| b |$ 。

[解答 1]

[解答 2]

[解答 3]

[解答 4]

[註 1]

[註 2]

[解答 5]

[註 3]

[註 4]

[註 5]

[註 6]

[註 7]

[註 8]

[解答 6]

[解答 7]

[問題 1]

[問題 2]

[問題 3]

[問題 4]

[問題 5]

[解答 8]

[問題 6]

[問題 7]

[問題 8]

[問題 9]

國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數

目录

認識負數

習題

性質符號與運算符號

同號數與異號數

習題

數線

數線上的點

數線上的分數點

數線上的小數點

標示數線上的點

比大小

習題

三一律

遞移律

相反數

習題

問題與討論

相反數的記號

問題與討論

絕對值

絕對值的符號

習題

問題與討論

絕對值與相反數的關係

課後總習題

基礎題

進階題

註解

習題解答

問題與討論解答

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