國中數學/國中數學八年級/3-2 利用乘法公式作因式分解

Template:Header2 本章節為了介紹解一元二次方程式的方式，於是我們介紹利用乘法公式作一些式子的因式分解。

利用和的平方公式

和的平方公式為$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$，反過來說，$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$，所以當一個欲分解的二次多項式出現以下兩個特徵：

1. 二次項係數與常數項皆為完全平方數，也就是此數為某個數的平方。
2. 一次項的係數是二次項係數與常數項開根號相乘的$2$倍。

則此二次多項式就可以使用和的乘法公式進行因式分解。

以一個簡單的例子說明： Template:ExampleRobox因式分解$x^2+8x+16$。 Template:Robox/Close Template:Robox注意到$16=4^2$為完全平方數，而且一次項$8x=2\times x\times 4$，所以根據和的平方公式可知$x^2+8x+16=(x+4{)}^2$。 Template:Robox/Close 隨堂練習 <quiz> {因式分解$x^2+12x+36$的結果為何？ |type="()"} + $(x+6{)}^2$ - $(x+12{)}^2$ - $(x+18{)}^2$ - $(x+36{)}^2$ </quiz> 接下來，介紹一個二次項係數不為$1$的二次多項式，利用和的乘法公式作因式分解的方式。注意對於任意數$a$，$a^2{x}^2=(ax{)}^2$。 Template:ExampleRobox因式分解$4x^2+12x+9$。 Template:Robox/Close Template:Robox注意到$4=2^2$、$9=3^2$為完全平方數，而且一次項$12x=2\cdot 2x\cdot 3$，所以根據和的平方公式可知$4x^2+12x+9=(2x{)}^2+2\cdot 2x\cdot 3+3^2=(2x+3{)}^2$。 Template:Robox/Close 隨堂練習 <quiz> {因式分解$9x^2+6x+1$的結果為何？ |type="()"} - $(9x+1{)}^2$ - $(6x+1{)}^2$ + $(3x+1{)}^2$ - $(x+3{)}^2$

{因式分解$25x^2+40x+16$的結果為何？ |type="()"} - $(25x+16{)}^2$ - $(5x+16{)}^2$ - $(5x+8{)}^2$ + $(5x+4{)}^2$ </quiz> 但這邊要注意的一件事情就是一次項的係數必須是前後開根號相乘的$2$倍，要不然此二次多項式有可能是無法分解成兩個一次式的乘積。如$x^2+x+1$與$25x^2+30x+16$等等。
我們接下來看一個係數不完全是整數的二次式要如何利用和的平方公式作因式分解。 Template:ExampleRobox因式分解$5x^2+4\sqrt{5}x+4$。 Template:Robox/Close Template:Robox根據和的平方公式可知$5x^2+4\sqrt{5}x+4=(\sqrt{5}x{)}^2+2\cdot \sqrt{5}x\cdot 2+2^2=(\sqrt{5}x+2{)}^2$。 Template:Robox/Close 搭配提出公因式也是常用手段。底下就是一些例子。 Template:ExampleRobox因式分解$\frac{4}{5}{x}^2+\frac{28}{5}x+\frac{49}{5}$。 Template:Robox/Close Template:Robox先提出$\frac{1}{5}$得$\frac{4}{5}{x}^2+\frac{28}{5}x+\frac{49}{5}=\frac{1}{5}(4x^2+28x+49)$，
再由和的平方公式可知$4x^2+28x+49=(2x{)}^2+2\cdot 2x\cdot 7+7^2=(2x+7{)}^2$，
所以$\frac{4}{5}{x}^2+\frac{28}{5}x+\frac{49}{5}=\frac{1}{5}(4x^2+28x+49)=\frac{1}{5}(2x+7{)}^2$。 Template:Robox/Close Template:ExampleRobox因式分解$-36x^2-84x-49$。 Template:Robox/Close Template:Robox先提出$-1$得$-36x^2-84x-49=-(36x^2+84x+49)$，
再由和的平方公式可知$36x^2+84x+49=(6x{)}^2+2\cdot 6x\cdot 7+7^2=(6x+7{)}^2$，
所以$-36x^2-84x-49=-(36x^2+84x+49)=-(6x+7{)}^2$。 Template:Robox/Close 隨堂練習 <quiz> {因式分解$\frac{1}{4}{x}^2+x+1$的結果為何？ |type="()"} - $\frac{1}{4}(x+1{)}^2$ + $\frac{1}{4}(x+2{)}^2$ - $\frac{1}{2}(x+1{)}^2$ - $\frac{1}{2}(x+2{)}^2$

{因式分解$9x^2+54x+81$的結果為何？ |type="()"} - $3(x+3{)}^2$ - $3(x+9{)}^2$ + $9(x+3{)}^2$ - $9(x+9{)}^2$

{因式分解$-16x^2-88x-121$的結果為何？ |type="()"} - $-(16x+121{)}^2$ + $-(4x+11{)}^2$ - $-(16x+11{)}^2$ - $-(4x+121{)}^2$ </quiz> 有時候會有式子的公因式，導致式子變得複雜，作這類的問題必須要注意到有沒有公因式，並且盡量提出公因式。 Template:ExampleRobox因式分解$9x^{2}y+30xy+25y$。 Template:Robox/Close Template:Robox注意每一項都有$y$這個因式，所以先提出$y$得$9x^{2}y+30xy+25y=y(9x^2+30x+25)$，
再由和的平方公式可知$9x^2+30x+25=(3x{)}^2+2\cdot 3x\cdot 5+5^2=(3x+5{)}^2$，
所以$9x^{2}y+30xy+25y=y(9x^2+30x+25)=y(3x+5{)}^2=(3x+5{)}^{2}y$。 Template:Robox/Close

利用差的平方公式

差的平方公式為$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$，反過來說，$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$，所以當一個欲分解的二次多項式出現以下兩個特徵：

1. 二次項係數與常數項皆為完全平方數，也就是此數為某個數的平方。
2. 一次項的係數是二次項係數與常數項開根號相乘的$-2$倍。

則此二次多項式就可以使用差的平方公式進行因式分解。

以一個簡單的例子說明： Template:ExampleRobox因式分解$x^2-8x+16$。 Template:Robox/Close Template:Robox注意到$16=4^2$為完全平方數，而且一次項$-8x=-2\times x\times 4$，所以根據差的平方公式可知$x^2-8x+16=(x-4{)}^2$。 Template:Robox/Close 隨堂練習 <quiz> {因式分解$x^2-14x+49$的結果為何？ |type="()"} + $(x-7{)}^2$ - $(x+7{)}^2$ - $(x+49{)}^2$ - $(x-49{)}^2$ </quiz> 課堂討論 看得出例題$7$與例題$1$的差異嗎？

由課堂討論的結果我們知道：剛剛和的平方公式能作的事情，差的平方公式也能作！ Template:ExampleRobox因式分解$81x^2-126x+49$。 Template:Robox/Close Template:Robox注意到$81=9^2$、$49=7^2$為完全平方數，而且一次項$-126x=-2\cdot 9x\cdot 7$，所以根據差的平方公式可知$81x^2-126x+49=(9x{)}^2-2\cdot 9x\cdot 7+7^2=(9x-7{)}^2$。 Template:Robox/Close 隨堂練習 <quiz> {因式分解$121x^2-44x+4$的結果為何？ |type="()"} - $(121x-4{)}^2$ - $(121x+4{)}^2$ + $(11x-2{)}^2$ - $(11x+2{)}^2$

{因式分解$25x^2-40x+16$的結果為何？ |type="()"} - $(25x-16{)}^2$ - $(25x+16{)}^2$ - $(5x+4{)}^2$ + $(5x-4{)}^2$ </quiz>

接下來就來看一些提出公因式的作法，事實上就是和的乘法公式一次項係數由正轉為負而已，作法是換湯不換藥。 Template:ExampleRobox因式分解$-x^2+22x-121$。 Template:Robox/Close Template:Robox注意到$-x^2+22x-121=-(x^2-22x+121)$，$121=11^2$為完全平方數，而且一次項$-22x=-2\times x\times 11$，所以根據差的平方公式可知$-x^2+22x-121=-(x^2-22x+121)=-(x-11{)}^2$。 Template:Robox/Close Template:ExampleRobox因式分解$2x^2-6x+\frac{9}{2}$。 Template:Robox/Close Template:Robox提出$\frac{1}{2}$，可得$2x^2-6x+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}(4x^2-12x+9)=\frac{1}{2}[(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2]=\frac{1}{2}(2x-3{)}^2$。 Template:Robox/Close

利用平方差公式

平方差公式為$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，反過來說，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，所以當一個欲分解的二次多項式出現以下三個特徵：

1. 二次項係數為完全平方數，也就是此數為某個數的平方。
2. 常數項為負的完全平方數。
3. 沒有一次項。

則此二次多項式就可以使用平方差公式進行因式分解。

以一個簡單的例子說明： Template:ExampleRobox因式分解$x^2-25$。 Template:Robox/Close Template:Robox注意到$25=5^2$為完全平方數，而且沒有一次項，中間的運算符號是「$-$」，所以根據平方差公式可知$x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)$。 Template:Robox/Close 隨堂練習 <quiz> {因式分解$y^2-81$的結果為何？ |type="()"} - $(y+81)(y-81)$ + $(y+9)(y-9)$ - $(y+9{)}^2$ - $(y-9{)}^2$ </quiz>

接下來來看一個二次項係數不為$1$的例子。 Template:ExampleRobox因式分解$169x^2-289$。 Template:Robox/Close Template:Robox注意到$169=13^2$與$289=17^2$皆為完全平方數，而且沒有一次項，中間的運算符號是「$-$」，所以根據平方差公式可知$169x^2-289=(13x{)}^2-17^2=(13x+17)(13x-17)$。 Template:Robox/Close 隨堂練習 <quiz> {因式分解$36y^2-121$的結果為何？ |type="()"} - $(6y+121)(6y-121)$ - $(36y+121)(36y-121)$ + $(6y+11)(6y-11)$ - $(36y+11)(36y-11)$

{因式分解$25x^2-1$之後，判斷以下何者是它的因式？ |type="()"} + $5x+1$ - $25x+1$ - $x-5$ - $x-25$ </quiz>

再來就是介紹一些提公因式的技巧。在平方差公式最需要注意的就是提出「$-1$」和公因數，這是有的時候為了讓你誤判而刻意設計不是平方數的陷阱。 Template:ExampleRobox因式分解$-16x^2+25$。 Template:Robox/Close Template:Robox如果你以為中間是加號所以不能因式分解的話你就大錯特錯了！注意到$-16x^2+25=-(16^2-25)$，$16=4^2$與$25=5^2$皆為完全平方數，而且沒有一次項，中間的運算符號是「$-$」，所以根據平方差公式可知$-16x^2+25=-(16x^2-25)=-[(4x{)}^2-5^2]=-(4x+5)(4x-5)$。 Template:Robox/Close 上述例題$14$還有一種作法：利用交換律可得$-16x^2+25=25-16x^2$，再利用上述方式得到$25-16x^2=5^2-(4x{)}^2=(5+4x)(5-4x)$。不過由於我們習慣讓文字符號$x$放前面，所以利用上一節所教先變號再提公因式的方式以及交換律可得$(5+4x)(5-4x)=-(4x+5)(4x-5)$。