高中数学/向量与复数/向量的坐标表示与定比分点公式

基础知识

向量在直角坐标系下的表示

在2维平面直角坐标系中，也可以将向量像点一样，用1对有序的数表示出来，得到向量的分量形式（vector component form）或者坐标化向量（coordinate vector）。用于描述向量位置的每一个数都叫做向量沿坐标轴的分量（component）。

假设有$\overrightarrow{a}(x_1,y_1),\overrightarrow{b}(x_2,y_2)$这2个平面向量，那么前面所学的向量公式都可以用坐标表达出来。例如：

• 向量可以按分量相加或相减：$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(x_1,y_1)\pm (x_2,y_2)=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)$。
• 向量乘以1个数时，各个分量都同时扩大：$k\overrightarrow{a}=k(x_1,y_1)=(k{x}_1,k{y}_1)$。

知道或设好平面向量的坐标后，也可以利用勾股定理求出其模。例如设点$A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$，则有：
$|\overrightarrow{AB}|=|(x_B,y_B)-(x_A,y_A)|=|(x_B-x_A,y_B-y_A)|=\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}$

借助这种代数化的运算，一方面可以避免画图的麻烦而直接计算出许多向量问题的解，另一方面可以发现在空间中的三维向量也有形似一致的公式。

描述直线（数轴）上的一个点需要1个坐标，描述平面上的一个点需要2个坐标，而描述三维空间中的一个点需要确定3个坐标。最常见的描述空间中位置的坐标系是三维直角坐标系，也即设置3个彼此之间两两保持垂直的x轴、y轴和z轴。类似地，描述3维空间中的向量需要3个独立分量，平行四边形法则和三角形法则对空间向量的加减运算也依然成立，在空间直角坐标系下向量的加减和数乘运算也是对各个分量分别进行的。

对于$\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2)$这2个三维向量，我们可以直接通过坐标代数运算的形式给出加减法和数乘的计算方法：

• 向量可以按分量相加或相减：$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(x_1,y_1,z_1)\pm (x_2,y_2,z_2)=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2,z_1\pm z_2)$。
• 向量乘以1个数时，各个分量都同时扩大：$k\overrightarrow{a}=k(x_1,y_1,z_1)=(k{x}_1,k{y}_1,k{z}_1)$。

此外，全体二维向量构成的集合或平面直角坐标系中的全体构成的点的集合都记作${ℝ}^2$，全体三维向量构成的集合或三维直角坐标系中全体点构成的集合都记作${ℝ}^3$。

提示：点的集合与向量的集合有着相似的表达方式。不难看出，数轴上的点的加减法与一维向量的加减运算法则是相似的（这2种加法之间的映射是一种同构关系）。事实上，由于数集与向量集之间存在同构关系，在高等数学中一般会忽略它们的表象区别，只关心它们的代数实质，因而也不会刻意区分空间中的点和向量。这种依靠合理的抽象，透过现象研究本质规律也是数学发展的特点。

知识背景：将n维空间中的全体点的集合记为${ℝ}^n$出自于集合论中的笛卡尔积符号。在高中阶段不需要了解笛卡尔积的概念。

如果在平面（或空间）直角坐标系下向量的减法的坐标变换规律，可以发现：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去初始点的坐标。

相关例题1： 已知平面向量$\overrightarrow{a}=(x,y)$，求出其模关于这2个坐标的表达式。

相关例题2： 已知空间向量$\overrightarrow{a}=(x,y,z)$，求出其模关于这3个坐标的表达式。

相关例题3： 已知平面向量$\overrightarrow{a}=(2,m),m\in ℝ,|\overrightarrow{a}|=5$，求m的可能取值。

相关例题4： 已知在平面直角坐标系中，O为坐标系原点，$\overrightarrow{OA}=(1,2),\overrightarrow{OB}=(2,-1),\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB},1\le x\le y\le 2$。求出点P的所有可能位置所构成的区域面积。

方向向量与向量的归一化

对于任意非零向量$\overrightarrow{a}$，与它同方向的单位向量就叫做向量$\overrightarrow{a}$的单位向量或向量$\overrightarrow{a}$的归一化向量或沿向量$\overrightarrow{a}$的方向向量。求任意非零向量的单位向量的过程叫做向量的归一化或对向量进行归一化。易知任意非零向量$\overrightarrow{a}$的归一化结果可以表示为自身与模长倒数的乘积，即$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$。换句话说，向量的归一化只是对其长度的归一化，但是不会改变其方向。

对于一个向量$\overrightarrow{a}(x_a,y_a)$，由毕氏定理可知：

• $|\overrightarrow{a}|=|(x_a,y_a)|=\sqrt{x_a^2+y_a^2}$
• $\overrightarrow{a}$的归一化向量（即方向向量）为$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{\overrightarrow{a}}{\sqrt{x_a^2+y_a^2}}$

由于“normalization”一词除了被翻译为“归一化”，也被翻译为“标准化”，所以“归一化向量”或“单位向量”也叫做“标准化向量”。

向量的一般性分解

。将向量表达为等效的多个向量之和的过程，叫做对向量的分解（decomposition）。建立直角坐标系然后将向量沿2个坐标轴进行分解的做法叫做对向量的正交分解（orthogonal decomposition of a vector）。正交就是垂直的意思。容易看出，直角坐标系取定以后，对平面中任何向量的正交分解的结果是唯一的。

正交分解是最容易处理的分解方式。例如在物理中要求众多的力的合力，可以选取合适的正交坐标系，先对每个力进行正交分解以后再分别沿x轴或y轴合成。这是一种将几何问题代数化处理的方法。

向量也可以沿不垂直的方向分解。我们可以任取2个不平行的非零方向向量，然后将给定的向量通过作图的方法分别沿它们所在的直线分解。非正交的分解满足以下规律（稍作了解即可）：

平面向量基本定理：如果$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$是同一平面内的2个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数可以使得下列向量分解式成立：
$\overrightarrow{a}={\lambda }_1\overrightarrow{e_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{e_2}$

我们把其中的$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base）。在同一平面内可以选出多组不同的基底。

对于最常用的平面直角坐标系和空间直角坐标系的基地，它们的基底向量都是彼此正交的单位向量。这种由彼此正交且长度都为一的单位向量组成的基底叫做标准正交基（orthonormal basis）。

定比分点

设点P是直线$P_1{P}_2$上异于$P_1,P_2$的任意一点，若存在一个实数$\lambda (\lambda \ne -1)$，使得$\overrightarrow{P_{1}P}=\lambda \overrightarrow{P{P}_2}$，则$\lambda$叫做点P分有向线段$P_1{P}_2$所成的比，P点叫做有向线段$P_1{P}_2$的以$\lambda$为比值的定比分点。

由以上定义和几何直观可以推知：当点P在线段$P_1{P}_2$上时，$\lambda >0$；当点P在线段$P_1{P}_2$或$P_2{P}_1$的延长线上时，$\lambda <0$。

定比分点问题经常会涉及具体的坐标计算，且其分点坐标也与线段的2个端点坐标存在直接的比例关系。

若已知$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P(x,y),\lambda \in ℝ$，则有下列条件彼此等价：

• P是线段$P_1{P}_2$的分点，且满足$\overrightarrow{P_{1}P}=\lambda \overrightarrow{P{P}_2}$
• $x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$
• $\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{O{P}_1}+\lambda \overrightarrow{O{P}_2}}{1+\lambda }$
• $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{O{P}_1}+(1-t)\overrightarrow{O{P}_2}(t=\frac{1}{1+\lambda })$

其中最后一个关系式叫做线段的定比分点公式（section formula）。

相关例题1： 在矩形ABCD中，已知其中3个顶点的坐标A (2, 1), B (5, 4), C (3, 6)，点E是CD边的中点。联结BE与矩形的对角线AC，交于点F。求点F的坐标。

相关例题2： 已知$A(2,3),B(-1,5),\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}$。求C点与D点的坐标。

定比分点问题还有直线分线段比公式和定比分点面积公式。

相关例题3： 已知三角形ABC的3个顶点坐标分别为A (1, 1), B (5, 3), C(4, 5)。直线$l$平行于AB，交AC于点D，且平分三角形ABC的面积。求D点的坐标。

相关例题4： 已知P为三角形ABC内一点，$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，求三角形ABP与三角形ABC的面积之比。

补充习题

参见

• 高中物理/力與運動/力的合成与分解
• 斜坐标系与对偶向量